Постановка вычислительной задачи и описание используемого численного метода решения

Методы прямоугольников и трапеций

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой.

; (3).

. (4).

В качестве точек о_i выберем средние точки элементарных отрезков [x_i-1, x_i]:

. (5).

Тогда (1) и (2) запишутся так:

; i=1,2,…, n. (6).

Формула (4) и есть формула прямоугольников. Эта формула использует интерполяцию нулевого порядка (кусочно постоянную) (см. рис. 1).

Рис. 1. Геометрический смысл определенного интеграла

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функции у=f (x) представляется в виде ломанной, соединяющей точки с координатами (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 2).

Площадь каждой элементарной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

; (i= 1,2, …, n). (7).

Складывая площади элементарных фигур, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

. (8).

Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численных интегрирований с постоянным шагом h_i= h = const

Рис. 2. Схема к выводу формулы трапеций

(i = 1, 2, …, n). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:

(9).

(10).