Примеры численного решения интегро-дифференциальных уравнений

Решение уравнений математической модели процесса массовой кристаллизации

Рассмотрим методику численного решения интегро-дифференциальных уравнений из математической модели процесса массовой кристаллизации. Уравнение, описывающее материальный баланс по концентрации кристаллизующегося компонента имеет вид:

о где с — концентрация кристаллизующегося компонента; р₂ — плотность кристалла; — скорость роста кристалла; /(г) dr — число кристаллов в единице объёма смеси с размером от г до г Ч- dr, R — наибольший размер кристалла.

Уравнение (14.5) содержит одну производную, описывающую изменение концентрации кристаллизующегося компонента во времени. Причём, функция с является функцией только одной независимой переменной (времени). В правой части уравнения (14.5) находится интеграл, содержащий функцию распределения включений по размерам /, значения которой зависят от времени и от размера включений. То есть, функция f является функцией двух независимых переменных — t и г. Также в подынтегральное выражение входит функция скорости роста кристалла ц, зависящая от размера кристалла и от величины пересыщения раствора (т.е. разности текущей и равновесной концентраций раствора), а, следовательно, являющаяся функцией двух независимых переменных — t и г.

Таким образом, для записи разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (14.5), требуется ввести двумерную разностную сетку (по осям которой отложены независимые переменные — время t и размер кристаллов г), а также следующие обозначения:

п = 0, 1,2,…, М — порядковый номер точки деления по оси t;

/г = 1, 2, 3, …, N_r — порядковый номер точки деления по оси г; /^я+ —/^я = Д/ — величина интервала между точками по оси t; Г_к+] — г_к = Д г — величина интервала между точками по оси г; f (/", r_k) = f_k — значение функции f (?, г), соответствующее точкам tⁿ, Г_к.

Для аппроксимации производной по времени будем использовать, как и обычно, правую конечную разность:

Для аппроксимации интеграла будем использовать выражение (14.4). Причём, поскольку искомой функцией в уравнении (14.5) является функция с (?). то при аппроксимации функций / (t, г) и r](t_y г) требуется использование принципа замороженных коэффициентов (иначе разностная схема не будет разрешима). Учитывая всё сказанное, запишем разностную схему для аппроксимации уравнения (14.5):

Разностная схема (14.6) является явной и решается с помощью рекуррентного соотношения:

Аналогично записывается разностная схема для уравнения, описывающего тепловой баланс:

где С_т, р, Т — теплоёмкость, плотность и температура смеси в кристаллизаторе; АН — тепловой эффект процесса; К — коэффициент теплопередачи; Т_х — температура хладагента; F — поверхность кристаллизатора.

Разностная схема (14.7) решается с помощью рекуррентного соотношения: