Оценивание моделей, не поддающихся линеаризации

Наряду с нелинейными функциями, поддающимися линеаризации, существует огромное множество функций необходимых экономисту, линеаризация которых не возможна. В общем виде спецификацию такой модели можно записать в следующем виде:

(9.27).

где  — вектор параметров модели.

В этом случае не удается получить систему нормальных уравнений для вычисления оценок параметров модели в линейном виде и, следовательно, процедура нахождения оценок параметров, сформулированная в теореме Гаусса — Маркова, не применима. Задача оценки параметров модели (9.27) решается с помощью численных методов поиска экстремумов функций. Таких методов разработано достаточно много.

Постановка задачи выглядит следующим образом. Записывается выражение для суммы квадратов случайных возмущений:

(9.28).

и формулируется задача нелинейного программирования:

(9.29).

Задача (9.29) относится к задачам поиска условного экстремума функции, которая может содержать ряд ограничений относительно параметров модели, например,

Таких методов разработано достаточно много к наиболее популярным среди них относится метод сопряженных градиентов или в общем случае его называют методом сопряженных направлений. Данный метод запрограммирован в виде функции «Поиск решения» табличного процессора EXCEL.

В результате будут получены значения оценок параметров модели, при которых справедлив метод наименьших квадратов (применительно к данной задачи его часто называют нелинейным методом наименьших квадратов).

Открытым остается вопрос, как оценить ошибки полученных в результате решения задачи (9.29) оценок параметров.

Подход к решению этой задачи следующий.

Предполагается, что функция (9.27) является гладкой в некоторой окрестности точки полученных значений оценок параметров: . Тогда значение функции (8.23) в точке можно представить в виде.

(9.30).

где  — неизвестные поправки к полученным значениям оценок параметров модели (9.27);  — значения функции регрессии при векторе параметров, полученных при решении задачи (9.29).

С помощью замены переменных:

Линейная модель (8.23) трансформируется в линейную модель:

(9.31).

В модели (9.31) неизвестными параметрами являются

Оценив модель (9.31) с помощью метода наименьших квадратов, можно рассчитать оценки поправок и их ошибки. Окончательно, решение задачи (9.27) с учетом того, что компоненты вектора параметров для задачи являются константами, имеет вид:

В результате удается вычислить, как оценки параметров, так и их ошибки модели (9.27).