Рассмотрим преобразования координат, связанные со сменой системы координат. Изучим, как можно задать одну систему координат в терминах другой. Произвольную систему координат можно определить с помощью начала координат и трех векторов, задающих направление (и единицу длины) для осей координат. Будем считать, что задано начало координат р0 и три вектора 0,.
е2.
Важным требованием к этим векторам является их линейная независимость. Это означает, что выражение еа + + 2е2
может быть равно нулю только в том случае, когда все три коэффициента Х0, А.), А2 одновременно равны нулю. Если три вектора линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через оставшиеся два.
Обычно рассматривают декартовы системы координат. В этом случае считают, что векторы 0, et, е2 попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Если векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, то они всегда линейно независимы. Далее будем считать, что имеем дело именно с декартовой (ортонормированной) системой координат.
Рассмотрим, что означает, когда точка р имеет в новой системе координат координаты р' = (х' у' г')1. В этом случае справедлива формула.
Это и есть формула перехода между двумя системами координат. Если рассматривать ее как систему линейных алгебраических уравнений относительно новых координат р' = (х' у' г')1, то их можно выразить из этой системы через координаты в старой системе координат р.
Далее мы будем считать, что векторы е0, еи е2 попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. Тогда построим матрицу R размером 3×3, в которой вектор е0 является первой строкой, вектор е{ — второй, а вектор е2 — третьей. Запишем это следующим образом:
Если имеется ортонормированная система из трех векторов, то эти векторы могут образовывать правую тройку векторов или левую тройку векторов. Три вектора образуют правую тройку, если они расположены в пространстве как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Далее будем считать, что у нас правая тройка.
Рассмотрим следующую матрицу RRT. Несложно убедиться в том, что элементы этой матрицы являются попарными скалярными произведениями векторов, из которых была построена исходная матрица. Поскольку эти векторы образуют ортонормированную систему, то данная матрица будет единичной. Также несложно показать, что и RTR — I. Таким образом, матрица R является матрицей поворота, т. е. произвольная правая декартова система координат отличается от любой другой правой декартовой системы координат каким-то поворотом.
Перепишем формулу для преобразования координат, используя матрицу R:
Отсюда легко можно выразить вектор р', используя тот факт, что R — это матрица поворота (т.е. обратная матрица совпадает с матрицей поворота):