Методика выбора аппроксимирующей функции

Аппроксимирующую функцию ц (x) выбирают из некоторого семейства функций, для которого задан вид функции (2), но остаются неопределёнными (и подлежат определению) её параметры C 1, C 2 … C m, т. е.

Ц (x) = ц (x, C 1, C 2 … C m) (2.1).

Определение аппроксимирующей функции ц разделяется на два основных этапа:

• 1) Подбор подходящего вида функции ц (x);
• 2) Нахождение её параметров в соответствии с критерием МНК.

Подбор вида функции ц (x) представляет собой сложную задачу, решаемую методом проб и последовательных приближений. Исходные данные, представленные в графической форме (семейства точек или кривые), сопоставляется с семейством графиков ряда типовых функций, используемых обычно для целей аппроксимации.

Более подробные сведения о поведении функций, которые могут быть использованы в задачах аппроксимации, можно найти в справочной литературе. В задании курсовой работы вид аппроксимирующей функции ц (x) задан.

Общая методика решения

После того как выбран вид аппроксимирующей функции ц (x) (или эта функция задана) и, следовательно, определена функциональная зависимость (2), необходим найти в соответствии с требованиями МНК значения параметров C 1, C 2 … C m. Как уже указывалось, параметры должны быть определены таким образом, чтобы значение критерия в каждой из рассматриваемых задач было наименьшим по сравнению с его значением при других возможных значениях параметров.

Для решения задачи подставляем выражение (2.1) в соответствующее из выражений и проведём необходимые операции суммирования или интегрирования (в зависимости от вида J). В результате величина J, именуемая в дальнейшем критерием аппроксимации, представляется функцией (2.2) искомых параметров.

J =J (C 1, C 2 … C m) (2.2).

Последующее сводится к отысканию минимума этой функции переменных Сk; определение значений Сk=Ck *, к=1…m, соответствующих этому элементу I, и является целью решаемой задачи.

Возможны следующие два подхода к решению этой задачи: использование известных условий минимума функции нескольких переменных или непосредственное отыскание точки минимума функции каким — либо из численных методов.

Для реализации первого из указанных подходов воспользуемся необходимым условием минимума функции (2.3) нескольких переменных, в соответствии с которыми в точке минимума должны быть равны нулю частные производные этой функции по всем ее аргументам:

(2.3).

Уравнения (2.3) используемые в МНК, называются нормальными, поэтому описываемый способ решения задачи будем называть методом нормальных уравнений.

Структура этих уравнений получается более простой в том случае, когда аппроксимирующая функция ?(x) выбирается линейной функцией искомых параметров, и выражение (2.3) имеет вид:

(2.4).

где — определяемые параметры; ?1(x), ?2(x), …, ?m (x) — система линейно-независимых функций, называемых в курсовой работе базисными функциями.

В этом случае, подставляя (2.4) в выражение (2.3) и выполняя дифференцирование в соответствии с (2.3), получим систему уравнений относительно искомых.

(2.5).

Применим операцию дифференцирования (2.3) к параметру, и, выполняя необходимые алгебраические преобразования, получим уравнение:

Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше действия по отношению к переменным ,…,. Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:

где коэффициенты и величины (k, l = 1, 2,…, m) определяются выражениями:

(2.7).