Равномерная сходимость степенных рядов

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.

Доказательство. На окружности степенной ряд сходится абсолютно, так как эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда (не зависит от), тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (замечание в доказательстве теоремы Абеля).

Исследуем сходимость степенного ряда на границе круга сходимости.

Рассмотрим ряд из модулей на границе круга сходимости .

1. Если ряд из модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе.

В самом деле этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы.

2. Если, то исходный степенной ряд расходится на всей границе.

В этом случае, и не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе.

3. Если ряд из модулей на границе круга сходимости расходится, но, то исходный степенной ряд сходится в одних точках границе и расходится в других. В этом случае для того, чтобы исследовать сходимость в точке границы, надо подставить ее в качестве в степенной ряд и исследовать сходимость полученного числового ряда.

Приведенные выше примеры 3, 4, 5 (после критерия Коши). Первый ряд расходится на всей границе, так как на ней не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Второй ряд сходится на всей границе, третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.

Непрерывность суммы степенных рядов

На любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости степенного ряда (1.2), сумма ряда есть непрерывная функция.

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, является непрерывной функцией. По теореме 2.1 на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости ряда сходимость является равномерной. Сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, сама является непрерывной функцией. Теорема доказана.

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд, имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой.

Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если? R < b < x < R, то выполняется равенство.

Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула: