Значение и актуальность теории временных рядов

В настоящее время решения в аспекте управления и стратегического планирования должны приниматься на базе глубокого изучения и анализа имеющейся информации. При решении такого рода задач необходим профильный аппарат прикладной статистики и экономико-математического моделирования. Составными частями данных направлений являются как статистический методы прогнозирования, так и тщательный анализ случайных процессов, временных рядов. Данные методы позволяют установить закономерности в рамках рассмотрения случайностей, обосновать прогнозы и найти вероятность их выполнения.

При изучении классической модели регрессии и корреляции род исходных данных не имеет принципиального значения. Способы исследования моделей, разработанных на основе данных пространственных выборок и временных рядов, могут существенно различаться. Такое поведение можно объяснить тем, что наблюдение в аспекте изучения временных рядов нельзя считать независимыми.

Под временным рядом понимается последовательность наблюдений некоторой случайной величины в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда. В традиционном виде при исследовании временного ряда выделяют несколько составляющих:

— аддитивная модель.

— мультипликативная модель где — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, то есть длительную тенденцию изменения признака;

— сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода;

— циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов;

— случайная компонента, отражающая влияние неподдающихся учету и регистрации случайных факторов.

Отметим, что в отличие от случайной компоненты первые три составляющие являются закономерными, неслучайными.

Основными целями анализа временных рядов является выявление присущих им закономерностей и прогнозирование на будущее (с учётом этих закономерностей).

Существует великое множество методов анализа временных рядов, которым посвящена обширная литература. Эти методы могут применяться каждый в отдельности, в различных комбинациях и в разной последовательности. В зависимости от этого могут получаться различные результаты. Однако для «хороших» временных рядов они буду не очень сильно различаться между собой.

Предполагается, что временной ряд можно разделить на три составляющие:

• 1) тренд, т. е. некая общая закономерность роста или убывания;
• 2) сезонная (или циклическая) компонента;
• 3) случайная компонента (шум).

Одной из важнейших задач исследования экономического временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей f (t) (тренда с циклической или (и) сезонной составляющей). Для решения этих задачи необходимо выбрать вид функции f (t).

Наиболее часто используется следующие функции:

• 1) линейная — f (t) = b₀+b₁t;
• 2) полиномиальная — f (t) = b₀+b₁t+…+b_ntⁿ;
• 3) экспоненциальная — f (t) = e^b0+b1t;
• 4) логистическая — f (t) = a/1+be^-ct;
• 5) Гомперца — log_cf (t) = a — br^t, где 0 < r < t.

Это весьма ответственный этап исследования. При выборе соответствующей функции f (t) используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического представления временного ряда). При выборе полиномиальной функции может быть применён метод последовательных разностей (состоящий в вычислении разностей первого порядка Д_t = x_t — x_t-1, второго порядка — Д_t⁽²⁾ = Д_t — Д_t-1 и т. д., и порядок разностей, при котором они будут примерно одинаковыми, принимается за степень полинома).

Из двух функций предпочтение обычно отдаётся той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчётных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из n точек можно подобрать полином (n-1) степени, проходящий через все точки, и соответственно с минимальной — нулевой — суммой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда x_t или y_t рассматриваются как зависимая переменная, а время t — как объясняющая:

y (t) = f (t) + е_t,.

где е_t — возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т. е. представляющие независимые и одинаково распределённые случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, обладающими меньшей колеблемостью. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделения тенденции.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда. Представим блок-схему алгоритма анализа временных рядов в общем виде на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 — Блок-схема алгоритма анализа временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

• 1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g
• 2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.
• 3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.
• 4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала. Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырехи двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания.

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Идентификация моделей. Под идентификацией моделей обычно понимают выявление их структуры и оценивание параметров. Поскольку структура — это тоже параметр, хотя и нечисловой, то речь идет об одной из типовых задач прикладной статистики — оценивании параметров.

Проще всего задача оценивания решается для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей оценивания параметров в моделях линейной (по параметрам) регрессии. На случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Однако на более общую ситуацию такого простого переноса сделать нельзя. Так, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными.

Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей. После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов. Применение метода наименших квадратов представлен на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6 — Метод наименьших квадратов (визуализация).

Менеджеру и экономисту не следует становиться специалистом по составлению и решению систем эконометрических уравнений, даже с помощью тех или иных программных систем, но он должен быть осведомлен о возможностях этого направления эконометрики, чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов по прикладной статистике.

Аналитический метод в данном случае требует большого объема ресурсов (как временных, так и технических). Исполнителю требуется применение специфических математических методов и потратить время на первичную обработку данных (ранжирование, сортировка, разделение по рангам и др.). Техническое решение задач, связанных с использованием временных рядом, является весьма актуальным и несёт собой практическое значение в проведении социально-экономических и научных исследованиях, прогнозирования, стратегического и бизнес-планирования. Правильный (системный) подход к выполнению таких целей позволит с наиболее высокой точностью и большей вероятностью определить исход событий, а также изучить наблюдаемую величину, определить основные характеристики и компоненты.