Лекция 3. Преобразования логических выражений

Синтез комбинационных схем связан с преобразованиями логических выражений, которые содержат ПФ. Приведем достаточно очевидные формулы для ФПС ПФ, содержащей операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Формулы для отрицания:

Формулы для дизъюнкции:

Формулы для конъюнкции:

Правило действия со скобками:

Операция поглощения:

Операция склеивания:

Формулы де Моргана:

Приведенные соотношения дают правила преобразования логических выражений, с помощью которых получают эквивалентные выражения. Новые выражения могут оказаться проще, а это приведет к экономии оборудования и повышению быстродействия устройств ЭВМ.

Пример 2.2. Выражение.

можно упростить следующим образом:

Логические элементы.

Рассмотрим некоторые логические элементы с одним и двумя входами, реализующие ПФ от одного и двух аргументов.

Логический элемент НЕ (инвертор). Инвертор реализует ПФ НЕ. В схемах инвертор изображается следующим образом (рис. 2.4).

На вход инвертора подается цифровой сигнал, величина напряжения которого соответствует значению аргумента ПФ. Например, если x=1, то это напряжение составляет +5 В, а если х=0, то 0 В (рис. 2.5). На выходе инвертора получается сигнал, представляющий значение функции отрицания НЕ, т. е. значение, обратное входному (рис. 2.6): y=1 (на выходе +5 В, если на входе 0 В) или y=0 (на выходе 0 В, если на входе +5 В). Нужно сказать, что на временной диаграмме инвертора допущена некоторая условность: судя по диаграмме, переключение цифрового сигнала происходит мгновенно, в действительности же любой физический процесс в логических элементах протекает за определенное время.

Логический элемент И. Этот элемент реализует ПФ конъюнкции или логического произведения. Иногда логический элемент И называют конъюнктором, а также схемой совпадения, что отражает существо работы этого элемента: цифровой сигнал, соответствующий значению логической единицы, появляется на выходе схемы только тогда, когда совпадут по времени единичные значения цифровых сигналов на входе. На рис. 2.7 представлено схематическое изображение элемента, а на рис. 2.8 — его временная диаграмма.

Логический элемент ИЛИ. Этот элемент реализует ПФ дизъюнкции или логического сложения. Иногда логический элемент ИЛИ называют дизъюнктором или схемой сборки: сигнал, соответствующий уровню логической единицы, возникает на выходе, если хотя бы на один из входов придет сигнал логической единицы. На рис. 2.9 приведено схематическое представление элемента, а на рис. 2.10 — временная диаграмма.

Логические элементы И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Последовательное соединение элементов И и НЕ реализует функцию отрицания конъюнкции (рис. 2.11). Логический элемент, реализующий эту функцию, называется И-НЕ. Обозначение этого элемента приведено на рис. 2.12.

Особенностью этих элементов является то, что они реализуют функционально полную систему ПФ, а следовательно, используя элементы И-НЕ или ИЛИ-НЕ, можно построить любую сколь угодно сложную схему.

Аналитическая запись переключательной функции. Построение схем на элементах заданного базиса

Для аналитического представления ПФ используют правило ее записи по единицам:

• — в таблице истинности выбирают все наборы, на которых ПФ равна единице;
• — выписывают произведения аргументов, соответствующих этим наборам. При этом, если в этом наборе аргумент равен 1, то он вписывается в произведение без изменения, если же он равен 0, то он вписывается со знаком отрицания;
• — все полученные произведения соединяются знаком дизъюнкции.

Пример 2.3. Построить схему сумматора по модулю два на элементах И, ИЛИ, НЕ. Таблица истинности для ПФ f₆(x₁, x₂) логической неравнозначности представлена в табл.2.3.

В соответствии с правилом записи ПФ по единицам получим:

Тогда схема сумматора по модулю два будет иметь вид (рис. 2.15):

Рис. 2.15. Схема сумматора по модулю два на элементах И, ИЛИ, НЕ

Можно построить схему сумматора только на элементах И-НЕ. Для этого, используя формулы де Моргана, преобразуем выражение f₆(x₁, x₂) следующим образом:

По этому выражению построим схему сумматора по модулю два на элементах И-НЕ (рис. 2.16):

Сумматор по модулю два можно построить и на элементах ИЛИ-НЕ:

Схема представлена на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Схема сумматора по модулю два на элементах ИЛИ-НЕ