Задания, связанные с квадратными уравнениями

Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения.

x²+6x+10 =0.

Решение: Пусть x₁, x_{2 - корни исходного уравнения, y1, y2 — корни искомого уравнения, а p и q — коэффициенты искомого уравнения.}

По теореме Виета:

сумма корней первого уравнения:

x₁+x₂=у₁= -b = -6,

а произведение этих корней:

x₁x₂= у₂ =c=10.

Аналогично, сумма корней второго уравнения:

y₁+y₂= -p,

а произведение этих корней:

y₁y = q.

По условию мы имеем:

y₁ = x₁², y₂ = x₂².

Поэтому.

p= -(y₁+y₂)= -(x₁²+x₂²) = -S₂ = -(у₁²— 2у₂)= -16 и q=y₁y₂ = x₁²x₂² =у₂²= 100.

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

y^2 — 16y + 100 = 0.

Ответ: y²-16y+100 = 0.

Иррациональные уравнения

Задача: Решить иррациональное уравнение.

⁴v97 — x + ⁴vx = 5.

Решение: Положим ⁴vx = y, ⁴v97 — x = z. Тогда исходное уравнение имеет вид:

y + z = 5.

Кроме того, мы имеем:

y⁴ + z⁴ = x+ (97 — x) = 97.

Таким образом, мы получили систему уравнений.

Введем новые неизвестные у₁ = x+y, у₂ = xy. Теперь мы имеем систему уравнений:

из которой мы получаем для у₂ квадратное уравнение:

у₂² — 50у₂ +264 = 0.

Решим его. Пусть у₂ = t, t₂ — 50t + 264 = 0.

По теореме Виета получаем.

Так что у2 = 6 и у2 = 44. Мы получили две системы уравнений:

Первая система имеет два решения:

Но y=⁴vx, и, следовательно, для первоначального x есть два решения:

x₁ = 16, x₂ = 81.

Вторая система дает для y и z (значит, и для x) еще два решения, правда комплексные, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения.

Ответ: 16, 81.