Пример 3. Метод Монте-Карло
В примере общее количество точек, а число точек, принадлежащих области, равно 15. По формуле (3.6) получаем. Среди точек, у которых, области принадлежат те точки, координаты которых удовлетворяют неравенству. Так как в области V, вводим новую переменную, в результате чего интеграл (3.7) переходит в интеграл. Среди выделенных точек области принадлежат те, для которых выполняется неравенство… Читать ещё >
Пример 3. Метод Монте-Карло (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим пример: найдём приближенно объём, ограниченный поверхностями.
Искомый объём численно равен величине интеграла.
(3.7).
Так как в области V, вводим новую переменную, в результате чего интеграл (3.7) переходит в интеграл.
(3.8).
где область, ограниченная поверхностями.
т.е. принадлежит единичному кубу .
Берём теперь три равномерно распределенные на отрезке последовательности случайных чисел и записываем их в качестве координат случайных точек в табл. 3.2. Затем проверяем, какие из этих точек принадлежат области .
Таблица 3.2.
     | 0.577. | 0.116. | 0.077. | 0.384. | 0.147. | 0.667. | |||
0.716. | 0.930. | 0.216. | 0.430. | 0.232. | 0.993. | 0.193. | 0.231. | ||
0.737. | 0.930. | 0.237. | 0.430. | 0.241. | 0.242. | ||||
0.701. | 0.428. | 0.201. | 0.072. | 0.045. | 0.940. | 0.140. | 0.122. | ||
0.170. | 0.529. | 0.330. | 0.029. | 0.110. | 0.610. | ||||
0.533. | 0.095. | 0.033. | 0.405. | 0.165. | 0.131. | ||||
0.432. | 0.996. | 0.068. | 0.496. | 0.251. | 0.352. | ||||
0.263. | 0.699. | 0.237. | 0.199. | 0.096. | 0.645. | ||||
0.059. | 0.313. | 0.441. | 0.187. | 0.229. | 0.646. | ||||
0.663. | 0.270. | 0.163. | 0.230. | 0.080. | 0.680. | ||||
0.355. | 0.653. | 0.145. | 0.153. | 0.046. | 0.577. | ||||
0.094. | 0.934. | 0.406. | 0.434. | 0.353. | 0.716. | ||||
0.303. | 0.058. | 0.197. | 0.442. | 0.234. | 0.737. | ||||
0.552. | 0.003. | 0.052. | 0.497. | 0.250. | 0.701. | ||||
0.640. | 0.882. | 0.140. | 0.382. | 0.165. | 0.169. | ||||
0.205. | 0.986. | 0.295. | 0.486. | 0.323. | 0.533. | ||||
0.002. | 0.521. | 0.498. | 0.021. | 0.248. | 0.432. | ||||
0.557. | 0.918. | 0.057. | 0.418. | 0.178. | 0.263. | ||||
0.870. | 0.071. | 0.370. | 0.429. | 0.318. | 0.059. | ||||
0.313. | 0.139. | 0.187. | 0.361. | 0.185. | 0.663. | ||||
=15. |
Заполним табл. 3.2 по правилу:
1) выделяем точки, у которых, и полагаем для них.
2) среди выделенных точек области принадлежат те, для которых выполняется неравенство .
Для этих точек, для остальных.
- 3) вычисляем. Области принадлежат те точки, для которых
- 4) среди точек, у которых, области принадлежат те точки, координаты которых удовлетворяют неравенству
Для этих точек .
В примере общее количество точек, а число точек, принадлежащих области, равно 15. По формуле (3.6) получаем.
.
а точное значение объёма равно.
Погрешность формулы (3.6) обратно пропорциональна корню из числа испытаний, т. е.
.
Это означает, что для обеспечения большой точности число точек должно быть очень велико. Но так как приближенные формулы (3.3), (3.6) не зависят от размерности интеграла, метод Монте-Карло оказывается выгодным при вычислении интегралов большой размерности.