Методы исключения тенденции

Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы исключения тенденции можно разделить на две группы:

• — методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимосвязи изучаемых временных рядов. Эти методы предполагают непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в данной группе — это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов;
• — методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимые переменные модели. В первую очередь это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени.

Рассмотрим подробнее методику применения, преимущества и недостатки каждого из перечисленных выше методов.

Метод отклонений от тренда

Пусть имеются два временных ряда хt и уt, каждый из которых содержит трендовую компоненту Т и случайную компоненту е. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметры соответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни и, соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценку трендовой компоненты T каждого ряда. Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетных значений уровней ряда из фактических. Эту процедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализ взаимосвязи рядов проводят с использованием не исходных уровней, а отклонений от тренда хt, и yt, при условии, что последние не содержат тенденции.

Метод последовательных разностей

В ряде случаев вместо аналитического выравнивания временного ряда с целью устранения тенденции можно применить более простой метод — метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, ее можно устранить путем замены исходных уровней ряда цепными абсолютными приростами (первыми разностями).

Пусть.

yt = +еt ,.

где еt — случайная ошибка;

Тогда Коэффициент b — константа, которая не зависит от времени. При наличии сильной линейной тенденции остатки достаточно малы и в соответствии с предпосылками МНК носят случайный характер. Поэтому первые разности уровней ряда не зависят от переменной времени, их можно использовать для дальнейшего анализа. Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболы второго порядка, то для ее устранения можно заменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (1), однако Тогда.

Как показывает это соотношение, первые разности непосредственно зависят от фактора времени t и, следовательно, содержат тенденцию.

Определим вторые разности:

Очевидно, что вторые разности Д2t не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда в форме параболы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа. Если тенденции временного ряда соответствует экспоненциальный или степенной тренд, метод последовательных разностей следует применять не к исходным уровням ряда, а к их логарифмам.

Включение в модель регрессии фактора времени

В корреляционно-регрессионном анализе устранить воздействие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздействие этого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот прием широко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включение фактора времени в модель в качестве независимой переменной.

Модель вида.

yt = a + b1· xt + b2· t + еt.

относится к группе моделей, включающих фактор времени. Очевидно, что число независимых переменных в такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть не только текущие, но и лаговые значения независимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.

Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения уt и хt есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.

По региону в целом известны следующие данные об индексе реальной заработной платы за январь-апрель текущего года:

Таблица Данные об индексе реальной заработной платы населения региона за январь-апрель текущего года.

Задание.

• 1. Определите параметры уравнения тренда и коэффициент их устойчивости.
• 2. Определите прогнозные уровни результативного признака на последующий месяц текущего года.

Сделайте выводы.

Решение.

1. Выполним расчет параметров уравнения параболы второго порядка и оценим возможность ее использования для выполнения прогнозов. Значения параметров рассчитаем, используя определители третьего порядка (см. расчетную таблицу 1):

Д = n*Уx2*Уx4 + Уx*Уx3*Уx2 + Уx*Уx3*Уx2 — Уx2*Уx2*Уx2 — Уx*Уx*Уx4 — - Уx3*Уx3*n =700,0;

Дa0 = Уy*Уx2*Уx4 + Уx*Уx3*У (y*x2)+ У (y*x)*Уx3*Уx2 — У (y*x2)*Уx2*Уx2 — - У (y*x)*Уx*Уx4 — Уx3*Уx3*Уy = 840,42;

Дa1 = n*У (y*x)*Уx4 + Уy*Уx3*Уx2 + Уx*У (y*x2)*Уx2 — Уx2*У (y*x)* Уx2 — - Уx*Уy* Уx4 — У (y*x2)*Уx3*n = -178,37;

Дa2 = n*Уx2*У (y*x2) + Уx*Уyx*Уx2 + Уx*Уx3*Уy — Уx2*Уx2*Уy — - Уx*Уx*У (y*x2) — Уx3*У (y*x)*n = 26,45.

Таблица 1.

В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:

;

;

.

Уравнение имеет следующий вид:

В гр. 9, 10 и 11 представлены данные для расчёта показателей тесноты описанной параболой связи. Уравнение выявило весьма тесную связь:

.

которая на 99,975% детерминирована системой устойчивых, статистически значимых факторов. Об этом говорит F-критерий, фактическое значение которого в сотни раз превышает его табличное значение:

при d.f.1=2; d.f.2=2 при б=0,05.

Ошибка аппроксимации имеет весьма малое значение: =2,366%, что указывает на хорошие перспективы при использовании модели для прогнозных расчётов. следственный переменный регрессия тренд.

2. Определим прогноз результативного признака на последующий месяц текущего года.

Условный фактор — фактор времени t — примет прогнозные значения, продолжающие натуральный ряд чисел, использованных для его обозначения. То есть,.

При подстановке значений и в уравнение параболы и после выполнения соответствующих расчётов получаем прогнозное значение индекса реальной заработной платы на май текущего года:

Выводы: по результатам прогноза по параболе индекс реальной заработной платы по региону в ближайшие месяцы текущего года будет постепенно возрастать, превышая уровень предыдущего года.

Для прогнозирования спроса на свою продукцию калининградское предприятие использует следующую модель (выведенную эмпирическим путем), характеризующую общую экономическую ситуацию в регионе:

Qt = a1 + b11 Yt + е1t ,.

Ct = a2 + b21 Yt + е2t,.

It = a3 + b32 (Yt-1 — Kt-1) + е3t ,.

Yt = Ct + It ,.

где Q — реализованная продукция в период t;

Y — ВДС региона;

C — конечное потребление;

I — инвестиции;

K — запас капитала;

t — текущий период;

t-1 — предыдущий период.

Задание:

• 1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
• 2. Определите метод оценки параметров модели.
• 3. Запишите приведенную форму модели.

Решение

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные Qt, Ct, Rt, Yt и две предопределенные (лаговые) переменные Кt-1 и Yt-1.

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: Qt = a1 + b11 Yt + е1t. Это уравнение содержит две эндогенные переменные Qt и Yt и ни одной из предопределенных переменных. Таким образом, H=2, D=2, т. е. выполняется условие D+1>H. Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: Ct = a2 + b21 Yt + е2t. Оно включает две эндогенные переменные Сt и Yt. Предопределенных переменных, так же как и в предыдущем уравнении, нет. Выполняется условие D+1>H. Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение: It = a3 + b32 (Yt-1 — Kt-1) + е3t. Оно включает одну эндогенную переменную It и две предопределенные переменные Yt-1 и Kt-1. Выполняется условие D+1=H=1. Уравнение точно идентифицируемо.

Четвертое уравнение Yt = Ct + It представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного, т. е. 4−1=3.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид.

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.

II уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

.

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.

III уравнение. Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

Ее ранг также равен трем.

Достаточное условие идентификации для III уравнения выполняется.

Таким образом, I и II уравнения модели сверхидентифицированы, III уравнение точно идентифицировано, IV уравнение — тождество, не нуждающееся в идентификации.

2. Параметры структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.

Для решения идентифицируемых уравнений применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных — двухшаговый метод наименьших квадратов.

Если система сверхидентифицируема (что наблюдается в данном случае), то косвенный МНК не используется, т.к. он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК). Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, т.к. дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Так как в данной сверхидентифицируемой структурной модели наряду со сверхидентифицируемыми есть точно идентифицируемое уравнение (III), то структурные коэффициенты по нему находятся из системы приведенных уравнений.

3. При представлении переменных Qt, Ct, Rt, Yt в виде функций от переменных Кt-1, Yt-1 получим приведенную форму:

Qt = р11 Кt-1 + р12 Yt-1 + з1t ,.

Ct = р21 Кt-1 + р22 Yt-1 + з2t,.

It = р31 Кt-1 + р32 Yt-1 + з3t,.

Yt = р41 Кt-1 + р42 Yt-1 + з4t.

Задание

Составить для теста два вопроса по теме «Моделирование одномерных временных рядов в экономических исследованиях».