Понятие о функциях Бесселя

При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя.

Функции Бесселя выражают степенными рядами, и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента х обозначают J_p(x), где р — порядок функции Бесселя. Общее выражение для J_p(x) в виде степенного ряда можно записать так:

Для гл. 15 наибольший интерес представляют функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (табл. 15.1). Для их получения в общее выражение (15.5) вместо х следует подставить jx, где j = V-1. Обратим внимание на то, что в табл. 15.1 даны функция (jx) вместо Jj (pc) и функция 7^3Ох) вместо J₃(jx). Сделано это потому, что без дополнительного множителя j или -j эти функции, как правило, не используют.

Таблица 15.1

	1,0.
0,4.	1,04.	0,20.	0,02.	0,131 • lo-2	0,67 • 10-1
0,8.	1,16.	0,43.	0,08.	0,01.	0,11? 10−2.
1,2.	1,39.	0,72.	0,20.	0,04.	0,58 • 10−2.
1,6.	1,75.	1,08.	0,39.	од.	0,019.
2,0.	2,28.	1,59.	0,69.	0,21.	0,051.
2,4.	3,05.	2,30.	1,13.	0,41.	0,114.
2,8.	4,16.	3,30.	1,80.	0.73.	0,234.
3,2.	5,75.	4,73.	2,79.	1,25.	0,446.
3,6.	8,03.	6,79.	4,25.	2,07.	0,81.
4,0.	11,30.	9,76.	6,42.	3,34.	1,416.
4,4.	16.01.	14,04.	9,63.	5,29.	2,405.
4,8.	22,79.	20,25.	14,35.	8,29.	3,992.
5,2.	32,58.	29,25.	21,33.	12,84.	6,51.
5,6.	46,73.	42,32.	31,62.	19,74.	10,468.
6,0.	67,23.	61,34.	46,78.	30,15.	16,63.
7,0.	168,60.			85,17.	51,0.
8,0.	427,56.	399,87.	327,6.	236,07.	150,5.
9,0.	1093,59.	1030,91.	864,5.	646,69.	433,3.
10,0.	2815,70.
11,0.		6948,9.
12,0.	18 948.	18 142.	15 924.	12 834.

При х = 0 не равна нулю только функция Бесселя нулевого порядка: J₀(0) = 1. По данным табл. 15.1 на рис. 15.13 построены кривые функции Бесселя. Из них ясно, что с ростом х значения функций увеличиваются. Чем выше порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и том же х.

Рис. 15.13.

Разложение гиперболических синуса и косинуса от периодического аргумента в ряд Фурье

Если аргумент х изменяется по периодическому закону, например по закону синуса х = x_msin wt, где х_т — амплитуда колебаний, то по периодическому закону изменяются и функции sh (x_msincjot) и ch (x_msin wt).

Так как периодические функции можно представить рядами Фурье, то разложим в ряд Фурье эти функции. С этой целью в (15.5) вместо х подставим jf_msin (ji>L Учтем известные из тригонометрии формулы.

сгруппируем все слагаемые с sinwt, cos2wt, sin3wt и т. д., а также отдельно выделим постоянную составляющую. В результате оказывается, что коэффициентами при тригонометрических функциях являются ряды, которыми изображают функции Бесселя различных порядков от чисто мнимого аргумента jx_m.

Окончательно получим

Ряд для sh (x_msin cot) состоит только из нечетных гармоник и не имеет постоянной составляющей. Ряд для ch (x_msinwt) имеет постоянную составляющую и четные гармоники.

Пример 148.

Разложить в ряд Фурье sh (4sin cot) и ch (4sin cot).

Решение. Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1:

В соответствии с (15.9) и (15.10) получим