Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = y (x) и ее производные у', у" ,… y⁽ⁿ⁾, т. е. уравнение вид…

Используем метод Лагранжа, выбрав общее решение исходного решения в виде у =x.

Подставим это выражение в исходное уравнение.

^C'^(x) *^{x — C (x}) _| ^{1 C (x})^_3x x² x x.

В итоге находим:

С'(х) = 3 x; С (х) = x + С₁.

Общее решение исходного уравнения:

ЗАДАНИЕ.

Решить дифференциальные уравнения:

1) y'+2y = Ј ¦

Ответ: y = C * Ј^-2x + Ј^-x.

• 2). y' + 2xy = Ј `
• 3). y'+2xy = x * Ј'

Ответ: y = (C + x) * Ј^-

2 _X²

Ответ: y = Ј^-X * (— + c).

4). y' + ^y = 2.

Ответ: y =.

x² + c.

5). xy' - y = x cos x.

Ответ: y = x (sin x + C).

6). Решить задачу Коши: y' + y * cos x = cos x Начальные условия y (0) = 1.

Ответ: y = 1.

7) Между силой тока i и электродвижущей силой Е в электрической цепи с сопротивлением R и самоиндукцией L существует следующая зависимость:

Дифференциальные уравнения n-го порядка

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида Р (^у, у', у" ,…, y⁽ⁿ⁾) = 0. (2.24).

Решением такого уравнения является n раз дифференцируемая функция у = 9(x), которая обращает данное уравнение в тождество, т. е.

F[x, 9(x), ф '(x),., 9⁽ⁿ⁾(x)] = 0. (2.25).

Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы найти такое решение у = ф^) уравнения (2.24), которое удовлетворяет условиям: ф^) = у0; ф'^) = у1,…, Ф^(n-1)(xo) = уп-1. Здесь у₀, у₁, у₀,., у_п-1 — заданные числа.

Функция у = (х, С₁, С₂,… С_п) называется общим решением уравнения (2.22), если при соответствующем выборе постоянных С₁, С₂,…, С_п эта функция является решением любой задачи Коши.

Всякое решение уравнения (2.24), полученное при конкретных значениях постоянных С₁, С₂,…, С_п, называется частным решением дифференциального уравнения (2.24).

Рассмотрим интегрирование некоторых дифференциальных уравнений n-го порядка.

1. Уравнение вида y (n) = f (x).

Решение этого уравнения находится п-кратным интегрированием, а именно у^(п) = f (x); у^(п`¹⁾ = j f (x)dx + C,;

_xn-1.

у = J… j f (x)dx…dx + Cj +… + C_n-1 * x + C_n. (2.26).

ПРИМЕР 1.

Найти общее и частное решения уравнения у'' = t² удовлетворяющие начальным условиям: у (0) = 1, у'(0) = 0.

Решение.

у' = j 1^2xdx + Ci = ¹1^2x + Ci.

Тогда общее решение:

у = J (11^2x + С₁) dx = 11^2x + С₁х + С₂.

Удовлетворим начальным условиям:

у (0) =¹ + С₂=1; у'(0) = ¹ + С₁

2. Дифференциальное уравнение вида.

F (x, y^w, у^(к+|),…, y⁽ⁿ⁾) = 0, которое не содержит искомой функции.

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т. е.

U = у^(к).

В результате получаем уравнение.

F (x, U, U',…, и⁰" ⁰) = 0. (2.27).

Решить уравнение ПРИМЕР 2.

x * у'' = у'.

3. Дифференциальное уравнение вида.

F (y, y',…, y⁽ⁿ⁾) = 0, которое не содержит независимой переменной. Для решения этого уравнения за новый аргумент принимают саму функцию у, а также вводят замену y' = U.

Тогда y" = U *^dU, y = U * [^d-^U * U + (^dU)²] и т. д. (2.28).

ПРИМЕР 3.

Решить уравнение y * y'' = (y').

Решение.

Примем U = y'. Тогда y'' = U ^dU

Исходное уравнение запишем в виде y * U^dU = U².

Его решение: U = C₁y.

Тогда — = C₁y. Запишем: — = C₁dx. dx y.

Его решение: ln y = C₁ * x + ln C₂.

Окончательно: y = C₂ * Ј ^1X.

ЗАДАНИЕ.

Решить уравнения n-го порядка:

• 1) .y'' = x * Ј^-x. Ответ: y = (x + 2) * Ј^-x + C₁x + C₂.
• 2). y'' + (y')² = 0. Ответ: y = C₁, C₂ + Ј^y = C₃x.
• 3). x * y'' = y'. Ответ: y = C₁x² + C₂.
• 4). Задача Коши: y'' + y' + 2 = 0.

Начальные условия: y (0) = 0, y'(0) = -2. Ответ: y = -2x.