Гауссовские случайные процессы

Нормальные (гауссовские) случайные процессы считаются важным классом случайных процессов. Все конечномерные распределения данных процессов считаются нормальными. С целью глубокого описания гауссовских процессов довольно указать его двумерные распределения.

Белый шум Белый шум — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним. Белый шум называется гауссовским, если случайные величины имеют одно и тоже нормальное распределение.

Процессы скользящего среднего Рассмотрим белый шум: независимые одинаково распределенные величины — е₁, е₂, …, е_t. Процесс скользящего среднего со средним µ называют процесс X (t):

X (t_n)= е_t+O е_t-1+ µ,.

где O — некоторый числовой коэффициент, µ - константа. Этот процесс является простейшим обобщением процессов белого шума.

Процессы авторегрессии Процессом авторегрессии со средним значением µ - это процесс X (t), для которого выполняются соотношения: X (t) — µ=ц· (X (t-1) — µ)+ е_t, где параметры µ и ц — постоянный величины. Члены этого процесса, разделенные промежутком времени h>0, не становятся независимыми, насколько большое не было h. Но при этом, зависимость между ними убывает с ростом h, если |ц|<1.

Марковское свойство Процессы называются марковскими, если их поведение определяется состояние в настоящем и воздействиями, которые будут осуществляться в будущем, а состояние до настоящего времени несущественно. Но в обычных обстоятельствах нет возможности проверить, обладает ли этим свойством наблюдаемый временной ряд или нет.

Стационарность В приложениях широко используют такое свойство случайных процессов, как стационарность, а именно, процессы, вероятностные характеристики которых не зависят от времени. Определенный ранее процесс белого шума называется стационарным.