Статистические гипотезы и статистические критерии. 
Основные понятия

Понятия «статистический критерий» и «статистическая гипотеза» тесно связаны с выборкой. Статистическая гипотеза (в отличие от других научных гипотез) состоит в предположении о некоторых свойствах генеральной совокупности, которые можно проверить, опираясь на данные случайной выборки. При этом следует помнить, что полученный результат имеет вероятностный характер. Следовательно, итог исследования, подтверждающий справедливость выдвинутой гипотезы, почти никогда не может служить основанием для ее окончательного принятия, и наоборот, результат, несовместный с ней, вполне достаточен для отклонения выдвинутой гипотезы как ошибочной или ложной. Это так, потому что полученный результат может быть совместным и с другими гипотезами, а не только с выдвинутой.

Под статистическим критерием понимается свод правил, которые позволяют ответить на вопрос, при каких результатах наблюдения гипотеза отклоняется, а при каких нет. Другими словами, статистический критерий — это некое решающее правило, обеспечивающее принятие истинной (верной) гипотезы и отклонение ложной гипотезы с большой степенью вероятности. Статистические критерии бывают односторонними и двусторонними, параметрическими и непараметрическими, более мощными или менее. Некоторые критерии применяются часто, другие используются реже. Часть критериев предназначена для решения специальных вопросов, а некоторые критерии могут использоваться при решении широкого класса задач. Эти критерии получили повсеместное распространение в социологии, экономике, психологии, естественных науках и т. д.

Введем некоторые основные понятия статистической проверки гипотез. Проверка гипотезы начинается с выдвижения нулевой гипотезы Я₀, т. е. некоторого предположения исследователя, а также конкурирующей, альтернативной гипотезы H_v которая противоречит основной. Например: Я₀: х_х = х₂, Яр х_{ Ф х₂ или Я₀: х = а_} Яр х Ф а (где а — генеральная средняя).

Основная цель исследователя при проверке гипотезы заключается в том, чтобы ответить на вопрос: можно ли отвергнуть нулевую гипотезу? Как писал Фишер, нулевая гипотеза никогда не доказывается и не устанавливается, но, возможно, опровергается в процессе экспериментирования. То есть каждый эксперимент существует только для того, чтобы дать факты для возможности опровержения нулевой гипотезы. Проверка гипотезы строится от противного. Следовательно, если мы считаем, что, например, средняя заработная плата рабочих, полученная по данным конкретной выборки и равная 186 денежным единицам в месяц, не совпадает с действительным размером заработной платы по всей генеральной совокупности, то в качестве нулевой гипотезы принимается, что эти зарплаты равны.

Конкурирующая гипотеза Н_х может быть сформулирована по-разному:

Далее определяется ошибка I рода (а), которая устанавливает вероятность того, что верная гипотеза будет отклонена. Очевидно, что такая вероятность должна быть небольшой (обычно от 0,01 до 0,1, чаще всего по умолчанию 0,05, или так называемый 5%-ный уровень значимости). Эти уровни вытекают из метода выборочного наблюдения, согласно которому двукратная или трехкратная ошибка представляет собой те пределы, за которые чаще всего не выходит случайная вариация выборочных характеристик. Ошибка II рода (Р) — это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза. Как правило, более «опасна» ошибка I рода; именно она фиксируется статистиком. Если в начале исследования мы хотим фиксировать аир одновременно (например, а = 0,05; Р = 0,1), то для этого необходимо сначала рассчитать объем выборки.

Критическая зона (или область) — это совокупность значений критерия, при которых Я₀ отклоняется. Критической точкой Т_кр называется точка, отделяющая область принятия гипотезы от области отклонения, или критической зоны.

Как уже упоминалось, ошибка I рода (а) — это вероятность отклонения верной гипотезы. Чем меньше а, тем меньше вероятность совершить ошибку I рода. Но вместе с тем при уменьшении а (например, с 0,05 до 0,01) труднее отклонить нулевую гипотезу, чего, собственно говоря, и добивается исследователь. Подчеркнем еще раз, что дальнейшее снижение, а до 0,05 и далее фактически приведет к тому, что все гипотезы, верные и ложные, попадут в область принятия нулевой гипотезы, и сделает невозможным провести их различие.

Ошибка II рода (Р) возникает в тех случаях, когда принимается Н₀, но на самом деле верна альтернативная ей гипотеза Н_х. Величина у = 1 — Р называется мощностью критерия. Ошибка II рода (т.е. ошибочное принятие ложной гипотезы) уменьшается с возрастанием объема выборки и увеличением уровня значимости. Из этого следует, что нельзя одновременно уменьшить, а и р. Это достигается лишь при увеличении объема выборки (что не всегда возможно).

Чаще всего задачи проверки гипотезы сводятся к сравнению двух выборочных средних или долей; к сопоставлению генеральной средней (или доли) с выборочной; сравнению эмпирического и теоретического распределений (критерии согласия); сравнению двух выборочных дисперсий (х²-критерий); сравнению двух выборочных коэффициентов корреляции или коэффициентов регрессии и некоторым другим сравнениям.

Решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы заключается в сопоставлении фактического значения критерия с табличным (теоретическим). Если фактическое значение меньше табличного, то делается вывод, что расхождение носит случайный, несущественный характер и нулевую гипотезу отклонить нельзя. Обратная ситуация (фактическое значение больше табличного) ведет к отклонению нулевой гипотезы.

При проверке статистических гипотез чаще всего используются таблицы нормального распределения, распределения у} (читается: хи-квадрат),^{-распределения} (распределения Стыодента) и Е-распределения (распределения Фишера).

При проверке статистических гипотез необходимо строго придерживаться конкретных условий и формул, по которым проводится проверка.