Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи

В практических исследованиях о тесноте корреляционной зависимости между рассматриваемыми переменными судят фактически не по величине генерального коэффициента корреляции (который обычно неизвестен), а по величине его выборочного аналога r. Так как r вычисляется по значениям переменных, случайно попавшим в выборку из генеральной совокупности, то в отличие от параметра оценка r — величина случайная.

Пусть вычисленное значение r?0. Возникает вопрос, объясняется ли это действительно существующей линейной корреляционной связью между переменными X и Y в генеральной совокупности или является следствием случайности отбора переменных в выборку (т.е. при другом отборе возможно, например, r = 0 или изменение знака r).

Обычно в этих случаях проверяется гипотеза об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т. е.: = 0 против альтернативной гипотезы: ? 0. При справедливости этой гипотезы статистика.

(1.43).

имеет t-распределение Стьюдента с k= n-2 степенями свободы. Поэтому гипотеза отвергается, т. е. выборочный коэффициент корреляции r значимо (существенно) отличается от нуля, если.

(1.44).

где табличное значение t-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости б при числе степеней свободы k = n-2.

Для значимого коэффициента корреляции r целесообразно найти доверительный интервал (интервальную оценку), который с заданной надежностью = 1 — б содержит (точнее, «накрывает») неизвестный генеральный коэффициент корреляции. Для построения такого интервала необходимо знать выборочное распределение коэффициента корреляции r, которое при ?0 несимметрично и очень медленно (с ростом n) сходится к нормальному распределению. Поэтому прибегают к специально подобранным функциям от r, которые сходятся к хорошо изученным распределениям. Чаще всего для подбора функции применяют z-преобразование Фишера:

Распределение z уже при небольших п является приближенно нормальным с математическим ожиданием.

(1.46).

и дисперсией.

(1.47).

Поэтому вначале строят доверительный интервал для M (z):

(1.48).

где — нормированное отклонение z, определяемое с помощью функции Лапласа:

(1.49).

При определении границ доверительного интервала для, т. е. для перехода от z к, существует специальная таблица. При ее отсутствии переход может быть осуществлен по формуле:

(12.50).

где th z — гиперболический тангенс z .

Если коэффициент корреляции значим, то коэффициенты регрессии и также значимо отличаются от нуля, а интервальные оценки для соответствующих генеральных коэффициентов регрессии и могут быть получены по формулам, основанным на том, что статистики.

имеют t-распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы:

(1.51).

Z-преобразование Фишера может быть применено при проверке различных гипотез относительно коэффициента корреляции.

Например, если по данным выборки объема n вычислен коэффициент корреляции r, то для проверки нулевой гипотезы о том, что генеральный коэффициент корреляции равен значению, т. е.: =, используется статистикa.

(1.52).

А для проверки существенности (значимости) различия двух ко-эффициентов корреляции и, полученных по выборкам объемов и, т. е. для проверки гипотезы: =, применяется статистика.

(1.52').

При достаточных объемах выборки (больших 10) можно считать, что при выполнении соответствующих нулевых гипотез статистики.

(1.52) и (1.52') имеют приближенно нормальный закон распределения. Поэтому гипотеза отвергается на уровне значимости б, если | t | > (при использовании двустороннего критерия) или | t | > при использовании одностороннего критерия).