Дифференциальный оператор L (D)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:

Используя оператор дифференцирования D, это уравнение можно записать в виде.

где L (D)? дифференциальный многочлен, равный.

Другими словами, оператор с представляет собой алгебраический многочлен, в котором роль переменной играет дифференциальный оператор D. Рассмотрим некоторые свойства введенного оператора L (D). 1) Оператор L (D) является линейным:

В случае нескольких операторов L (D), M (D) и N (D) (степень этих дифференциальных многочленов может быть различной) справедливы также следующие свойства: 2) Коммутативный закон сложения:

3) Ассоциативный закон сложения:

Для операторов L (D) и M (D) можно ввести также и операцию умножения:

Важно отметить, что операция умножения обладает коммутативностью лишь для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, т. е. для операторов вида.

где a₁,…, a_n? постоянные числа. Для таких операторов выполняются свойства 4−6: 4) Коммутативный закон умножения:

5) Ассоциативный закон умножения:

6) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

Отметим также еще одно полезное свойство оператора D:

7) D^mDⁿ = D^m+n.

Как видно, дифференциальные операторы L (D) с постоянными коэффициентами обладают такими же свойствами, что и обычные алгебраические многочлены. Следовательно, также как и алгебраические многочлены, дифференциальные операторы L (D) с постоянными коэффициентами можно умножать, разлагать на множители или делить. Указанные свойства лежат в основе операторного метода решений дифференциальных уравнений.