Интеграл Фурье. 
Биография и основные труды Ж. Фурье

Если функция f (x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси, то есть если интеграл.

Сходится, и если она удовлетворяет условиям на любом конечном интервале, то ее можно представить интегралом Фурье.

.

Эта интегральная формула Фурье получается из ряда Фурье для функции f (x) в интервале (-l, l) при l.

Коэффициенты Фурье

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега).

Если функция принадлежит классу.

то есть дифференцируема раз и еёя производная непрерывна, то.

=0(.

если ряд сходится абсолютно, то.

при всех .

Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем, то ряд сходится абсолютно (теорема Бернштейна).

Метод Фурье

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье.

Метод Фурье, или метод разделения переменных основывается на том, что решение ищется в виде.

— произведения двух функций. Одна из которых зависит только от x, а другая только от t.