Погрешность дискретизации в цифровых измерительных приборах

Погрешность дискретизации в цифровых измерительных приборах

В основе работы цифровых приборов лежит преобразование измеряемой величины X в пропорциональный временной интервал, определяемый шириной одиночного прямоугольного импульса и дальнейшее определение длительности этого интервала времени. Определение длительности временного интервала происходит путем ее сравнения с периодом счетных импульсов. Прибор, подсчитывая количество счетных импульсов, попавших в этот временной интервал, определяет его длительность, а значит и измеряемую величину. Погрешность, связанная с неточностью определения длительности временного интервала называется погрешностью дискретности. Рассмотрим два случая:

I. Начало временного интервала и счетных импульсов синхронизировано. Это означает, что первый счетный импульс и начало измеряемого временного интервала совпадают.

Рис. 1.

На рис. 1 видно, что при таком способе измерения длительности временного интервала появляется методическая погрешность, т.к. остается неучтенный остаток .

(1).

В выражении (1) — это временной интервал, являющийся аналоговой величиной, а величина, стоящая справа — дискретная величина. Из (1) следует, что число импульсов попавших в интервал равно.

(2).

В выражении (2) — это измеряемая величина, — частота следования счетных импульсов, — некоторый коэффициент преобразования измеряемой величины во временной интервал;, т. е. число сосчитанных импульсов пропорционально измеряемой величине. Из (2) следует:

(3).

Если, то — это минимально возможная измеряемая величина. С учетом этого (3) принимает вид.

(4).

При таком измерении появляется погрешность дискретности. — это шаг дискретизации. — результат измерения реальной величины, который только приближенно совпадает с действительной величиной.;. Таким образом действительное значение временного интервала равно:

(5).

Из рис. 1 видно, что.

(6).

В (6), следовательно — случайная погрешность (погрешность дискретизации), которая лежит в интервале. При этом закон распределения равномерный. Погрешность дискретизации состоит из систематической и случайной части:

(7).

В выражении (7) систематическая часть погрешности дискретизации. Граничные значения погрешности дискретизации:

.

Из выражения для СКО равномерного распределения следует, что СКО погрешности дискретизации будет или.

(8).

Точность измерения также характеризует относительное среднеквадратическое отклонение. Оно является безразмерной величиной и равна:

(9).

ОСКО погрешности дискретизации можно получить, подставив (8) в (9):

(10).

или.

(11).

цифровой импульс погрешность дискретизация Из (11) следует, что увеличение числа счетных импульсов приводит к уменьшению погрешности, т. е. ее можно регулировать. Рассмотренный случай относится к случаю, когда первый импульс считается, и число сосчитанных импульсов не совпадает с числом временных интервалов.

Пример: Пусть В, тогда из (4) следует, что В.

Рассмотрим случай, когда первый импульс не считается, тогда:

(12).

где, а. Погрешность дискретизации лежит в интервале, ее систематическая составляющая.

Таким образом, погрешность дискретности противоположна по знаку первому случаю, т. е. изменилась только систематическая погрешность, случайная — не изменилась. Формулы (8) и (11) справедливы и для этого случая.

II. Начало временного интервала и импульсов не синхронизировано.

Рис. 2.

В этом случае:

(13).

Так как, то (13) примет вид:

(14).

в этом соотношении:, а. С учетом этого (14) примет вид:

(15).

Погрешность в этом случае лежит в интервале:, где и имеют равномерное распределение и находятся в интервале:

В случае сложения двух равномерно распределенных величин, результирующее распределение будет треугольным. Для него СКО.

(16).

(17).

а ОСКО.

(18).

Среднеквадратическая погрешность в этом случае увеличилась в раз, но систематическая погрешность отсутствует, т.к.; а значит погрешность дискретности чисто случайная величина.

Погрешность выборки при низкочастотной синусоидальной помехе

Рассмотрим погрешность, которая представляет собой функцию нескольких аргументов, из которых лишь один является случайной величиной. Такую погрешность иногда называют квазислучайной. В частности к такому типу погрешностей относится часто встречающаяся в практике радиоэлектронных измерений погрешность вида.

(19).

обусловленная действием синусоидальной помехи (наводки, пульсации).

(20).

При этом параметр (амплитуда) в конкретных условиях остается неизменным, а параметр (фаза) — это случайная величина, все значения которой равновероятны (см. рис. 3) и справедливо неравенство или.

(21).

В этом интервале имеет равномерную плотность распределения, равную. Из теории вероятности известно, что если имеются и и они однозначны, и известно, а нужно определить, то.

(22).

Используя выражение (22) найдем: (22).

Рис. 3.

Возьмем производную:

(23).

(24).

Выражение (24) определяет так называемое U — образное распределение погрешности, вызванное действием синусоидальной помехи. Такое распределение называется арксинусоидальным. Для него дисперсия.

(25).

СКО, (26).

граничное значение.

(27).