Гибкие нити. 
Разработка программы для расчёта гибких нитей

В технике встречается еще один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это — так называемые гибкие нити. Таким термином обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в канатныхдорогах, в висячих мостах и других сооружениях.'

Пусть имеется гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой — ЛОВ.

Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками ее закрепления), обозначаемая /, носит название пролета.

Нить имеет постоянное сечение, следовательно, вес ее распределен равномерно по ее длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом, а длина-кривой АОВ мало отличается (не более чем на 10%) от длины хорды А В. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равномерно распределен по длине ее проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролета I. Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределенной по пролету нити, равна ц. Эта нагрузка, имеющая размерность сила/длина, может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролета, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределенной. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно облегчает расчет, но делает его вместе с тем приближенным; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближенном решении кривая провисания оказывается квадратной параболой.

Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О, положение которой, нам пока-неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки, от соотношения между длиной нити и длиной пролета, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось х.

Вырежем двумя сечениями — в начале координат и на расстоянии х от начала координат (сечение т—п) — часть длины нити. Так как нить предположена гибкой, т. е. способной сопротивляться лишь растяжению, то действие отброшенной части на оставшуюся возможно только в виде силы, направленной по касательной к кривой провисания нити в месте разреза; иное направление этой силы невозможно.

На рис. 50 Представлена вырезанная часть нити с действующими на нее силами. Равномерно распределённая нагрузка интенсивностью ^ направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Н) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Т, направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке.

сумму проекций всех сил на ось х:

Из этого уравнения найдем силу Т — натяжение в произвольной точке Из формулы (5.12) видно, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса — там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н. На эту величину обычно и ведется^ расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е. д½. Горизонтальные составляющие равны силе Н, определяемой по формуле (5.10). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих:

Условие прочности для гибкой нити, если через г обозначена площадь сечения, имеет вид.

Заменив натяжение Н его значением по формуле (5.10), получим.

Из этой формулы при заданных I, д, Р та [а] можно определить необходимую стрелу провисания /. Решение при этом упростится, если в ^ включен лишь собственный вес; тогда д=='у'Р, где у — вес единицы объема материала нити, и.

т. е. величина Р не войдет в расчет.

Б. Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (5.8) значения х=—а и х=Ь, находим /I и /а:

Связь этих величин с длиной S нити устанавливается при помощи известной из математики приближенной формулы.

(1.16).

Вернемся к рассмотрению рис. 1.4. Составим еще одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось х:

(1.17).

Из этого уравнения найдем силу Т — натяжение в произвольной точке.

(1.18).

Из формулы (1.18) видно, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса — там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н. На эту величину обычно и ведется расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е. ql/2. Горизонтальные составляющие равны силе Н, определяемой по формуле (1.15). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих:

(1.19).

Условие прочности для гибкой нити, если через F обозначена площадь сечения, имеет вид.

(1.20).

Заменив натяжение Н его значением по формуле (1.15), получим.

(1.21).

Из этой формулы при заданных l, q, F и [] можно определить необходимую стрелу провисания f. Решение при этом упростится, если в q включен лишь собственный вес; тогда q=F, где — вес единицы объема материала нити, и.

(1.22).

т. е. величина F не войдет в расчет.

Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (1.13) значения х=-а и х=b, находим f₁ и f₂:

(1.23).

Отсюда из второго выражения определяем натяжение.

(1.24).

а деля первое на второе, находим.

(1.25).

Имея в виду, что b+a=l, получаем.

(1.26).

Подставив это значение b в формулу (1.24), окончательно определяем.

(1.27).

Два знака в знаменателе указывают на то, что могут быть две основные формы провисания нити. Первая форма при меньшем значении Н (знак плюс перед вторым корнем) дает нам вершину параболы между опорами нити (рис. 1.3 и пунктирная кривая АО₁В на рис. 1.5). При большем натяжении Н (знак минус перед вторым корнем) вершина параболы расположится левее опоры А (сплошная кривая О₂АВ на рис. 1.5). Получаем вторую форму кривой.

Рис. 1.5. Формы провисания.

Возможна и третья (промежуточная между двумя основными) форма провисания, соответствующая условию f1=0; тогда начало координат О3 совмещается с точкой А.

Та или иная форма будет получена в зависимости от соотношений между длиной нити AОВ (рис. 1.3) и длиной хорды АВ.

Если при подвеске нити на разных уровнях неизвестны стрелы провисания f₁ и f₂, но известно натяжение Н, то легко получить значения расстояний, а и b стрел провисания f₁ и f₂. Разность h уровней подвески равна (рис. 1.3 и 1.5).

(1.28).

Подставим в это выражение значения f₁ и f₂, согласно (1.23), и преобразуем его, имея в виду, что a+b=l:

(1.29).

откуда.

(1.30).

а так как a+b=l, то.

(1.31).

Следует иметь в виду, что при a>0 будет иметь место первая форма провисания нити (рис. 1.5), при а<0 — вторая форма провисания и при а=0 — третья форма. Подставляя значения, а и b в выражения (1.23), получаем величины f₁и f₂:

(1.32).

(1.33).

Теперь выясним, что произойдет с симметричной нитью, перекрывающей пролет l, если после подвешивания ее при температуре t₁ и интенсивности нагрузки q₁ температура нити повысится до t₂, а нагрузка увеличится до интенсивности q₂ (например, из-за ее обледенения). При этом предположим, что в первом состоянии задано или натяжение Н₁, или стрела провисания f₁. (Зная одну из этих двух величин, по формуле (1.15) всегда можно определить другую.).

При подсчете деформации нити, являющейся по сравнению с длиной нити малой величиной, сделаем два допущения: длина нити равна ее пролету, а натяжение постоянно и равно Н. При пологих нитях эти допущения дают небольшую погрешность.

В таком случае удлинение нити, вызванное увеличением температуры, будет равно.

(1.34).

где — коэффициент линейного температурного расширения материала нити.

При повышении температуры нить удлиняется. В связи с этим увеличится ее стрела провисания и, как следствие, в соответствии с формулой (1.15) уменьшится ее натяжение. С другой стороны, из-за увеличения нагрузки, как видно из той же формулы (1.15), натяжение увеличится. Допустим, что окончательно натяжение увеличивается. Тогда удлинение нити, вызванное увеличением натяжения, будет, согласно закону Гука, равно.

(1.35).

Если H₂ окажется меньше, чем H₁ то величина _S2 будет отрицательной. При понижении температуры будет отрицательной величина _S1.

Таким образом, длина нити во втором ее состоянии будет равна длине при первом ее состоянии с добавлением тех деформаций, которые произойдут от повышения температуры и натяжения:

(1.36).

Изменение длины нити вызовет изменение и ее стрелы провисания. Вместо f₁ она станет f_2.

Теперь заменим в уравнении (1.36) S₁ и S₂ их выражениями по формуле (1.16), а деформации _S1 и _S2 —их значениями по формулам (1.34) и (1.35). Тогда уравнение (1.36) примет следующий вид;

(1.37).

В этом уравнении заменим f₁ и f₂ их значениями по формуле 1.14.

(1.38).

Тогда, после некоторых преобразований, уравнение (1.37) может быть написано в виде.

(1.39).

Определив из уравнения (1.39) натяжение H₂, можно найти по формуле (1.14) и стрелу f₂.

В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию нагрузка не изменяется, а изменяется лишь температура, то в уравнении (1.39) интенсивность q₂ заменяется на q₁. В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию не изменяется температура, а изменяется лишь нагрузка, то в уравнении (1.39) средний член в квадратной скобке равен нулю.

Уравнение (1.39) пригодно, конечно, и при понижении температуры и уменьшении нагрузки.

В тех случаях, когда стрела провисания не является малой по сравнению с пролетом, выведенные выше формулы неприменимы, так как действительная кривая провисания нити, цепная линия, будет уже значительно отличаться от параболы, полученной нами благодаря предположению о равномерном распределении нагрузки по пролету нити, а не по ее длине, как-то имеет место в действительности.

Точные подсчеты показывают, что значение погрешности в величине натяжения Н, вызванной этим предположением, таково:

При отношении f/l<1/20 погрешность не превосходит 0,3%, при f/l =1/10 ошибка составляет уже 1,3%, а при f/l =1/5 погрешность несколько превосходит 5%.