Математическое обеспечение. 
Разработка программы для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников

Суть метода средних прямоугольников.

Пусть функция (2) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл (3). Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками. Внутри каждого отрезка выберем точку. Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения (4) то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла (5). Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму [4].

Формула метода средних прямоугольников

Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на равные части длины h точками. То есть (6), и в качестве выбрать середины элементарных отрезков (то есть (7)), то приближенное равенство (5) можно записать в виде (8). Это и есть формула средних прямоугольников, называется она так из-за способа выбора как на рисунке 1, (9) называется шагом разбиения отрезка [a;b] [4].

Описание алгоритма решения задачи Описательный алгоритм Объявляем переменные x1, x2, a, b, c типа double (Вещественные числа), n типа unsigned long int (Целые) и cs типа int (Целые);

Вводим числа x1, x2 с клавиатуры;

Вводим n с клаватуры;

Переменной cs присваиваем результат выполнения функции test;

Если cs равно нулю перейти к пункту «3», иначе к пункту «4» ;

Объявляем переменные a, b, cтипа double (Вещественные числа);

Вводим числа a, b, cс клавиатуры;

Объявляем переменную dx;

Присваиваем переменной dx значение шага разбиения отрезка;

Объявляем переменную result;

Присваиваем переменной result значение 0;

Прибавить к переменной resultзначение функции в средней точке.

Увеличить значение nна единицу;

Если значение переменной nдостигло введенного с клавиатуры числа перейти к пункту «4.9», иначе к пункту «4.6» ;

Перемножить переменные resultи dx;

Вывести result;

На рисунках 2, 3, 4, 5 изображена блок схема данного алгоритма.

Реализация алгоритма на языке C++.

Происходит объявление переменных x1, x2, a, b, c, n, cs, которые необходимы для хранения: границ интегрирования, количества точек разбиения отрезка интегрирования, коэффициентов подынтегральной функции, результата выполнения функции test.

double x1, x2, a, b, c; // границы интегрирования, коэффициенты функции.

unsigned long int n; // количество точек разбиения отрезка интегрирования.

int cs; // переменная cs.

Далее вводим границы интегрирования.

cin >> x1.

cin >>x2.

Затем с помощью цикла while и функции test проверяем правильность введенной переменной n (предварительно определив n), если n меньше 1 то программа потребует ввести n заново.

while (true).

{cin >> n; //количество точек разбиения отрезка интегрирования.

cs = test (n);

if (cs == 0).

cout << «Значение n меньше единицы. «;

else.

break;}.

В функции test происходит обработка введенных данных.

int test (int n).

{if (n < 1).

return 0;

else.

return 1;}.

Далее с помошью функции msp вычисляется определенный интеграл, вводим коэффициенты подынтегральной функции с помощью формулы (9) вычисляем шаг разбиения отрезка интегрирования, двигаясь с лева на право вычисляем значение функции в средних точках и считаем сумму. Перемножаем сумму и шаг разбиения, выводим результат на экран.

double dx = fabs (x1 — x2) / n; //Шаг сетки.

double result = 0;

for (int i = 0; i < n; i++).

{.

result += Pf ((x1 + dx*(i + 0.5)), a, b, c); //Вычисляем в средней точке и добавляем в сумму.

}.

result *= dx;