Введение. 
Приближенные методы вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц линейных операторов в конечномерном линейном пространстве

Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов линейных операторов, т. е. отыскания таких значений, для которых существуют нетривиальные решения операторного уравнения.

(1).

и отыскания этих нетривиальных решений.

Выберем некоторый базис e в пространстве L. Уравнение (1) индуцирует в пространстве Rn систему линейных алгебраических уравнений следующего вида:

(1/).

Здесь А=- матрица линейного оператора, А в базисе e.

Под полной проблемой собственных значений понимается проблема нахождения всех собственных значений матрицы А, так же как и отвечающих этим собственным значениям собственных векторов.

Собственными значениями матрицы, А называются корни ее характеристического многочлена, т. е. корни уравнения.

Определение компонент собственного вектора требует решения n однородных уравнений с п неизвестными; для вычисления всех собственных векторов матрицы требуется решить п систем вида (1/).

Коэффициенты pi характеристического многочлена являются, с точностью до знака, суммами всех миноров определителя матрицы, А порядка i, опирающихся на главную диагональ. Непосредственное вычисление коэффициентов pi является чрезвычайно громоздким и требует огромного числа операций.

В вычислительной математике выработано много различных приемов и методов, облегчающих численное решение поставленных задач. Большинство методов, дающих решение полной проблемы собственных значений, включает предварительное вычисление коэффициентов pi характеристического многочлена. Собственные значения вычисляются затем по какому-либо методу для приближенного вычисления корней многочлена, например, способом Ньютона или Лобачевского, а потом по полученному собственному значению вычисляются собственные векторы, отвечающие этому собственному значению. Методы этой группы являются точными. Существуют также методы, позволяющие отыскивать собственные значения и собственные векторы без раскрытия определителя (2). Эти методы называются итерационными. Такие методы более приспособлены к решению частичной проблемы собственных значений, т. е. задачи нахождения одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

Целью данной дипломной работы является рассмотрение некоторых численных методов решения полной проблемы собственных значений.