Упругие характеристики среды

Как отмечалось ранее, в твердых телах акустическое поле имеет гораздо более сложный вид, чем в жидкостях и газах, т. к. твердым телам присуща не только упругость объема, но и упругость формы (сдвиговая упругость). Вместо давления для твердых тел вводят понятие «напряжение» — силу, отнесенную к единице поверхности.

Различают нормальные (растягивающие или сжимающие) напряжения о_хх, о_уу, а" и тангенциальные (сдвиговые) напряжения о_ху, o_yz. Напряженное состояние твердого тела, таким образом, характеризуют тензором третьего ранга о,₇. Индексы / и / принимают значения осей координат*, у, z? Первый индекс указывает координату, в направлении которой действует сила, а второй — площадку (грань элементарного куба), перпендикулярную к направлению указанной в нем координаты, к которой эта сила приложена (рис. 2.8). Тензор напряжения симметричный (а_н = а_д), таким образом, содержит шесть независимых величин. В жидкостях и газах, где не существует упругости формы, тангенциальные компоненты тензора напряжения отсутствуют, а нормальные компоненты равны друг другу.

Рис. 2.8. Компоненты тензора напряжений.

Наиболее часто колебания характеризуются деформацией — изменением взаимного расположения du точек тела. Это изменение относят к первоначальному расстоянию между точками, в результате чего деформация становится безразмерной величиной. Если точки сдвинулись вдоль отрезка, их соединяющего (рис. 2.9, а), то это деформация растяжения-сжатия. Если точки сдвинулись перпендикулярно этому отрезку, то это деформация сдвига (рис. 2.9, б, в).

Рис. 2.9. Компоненты тензора деформации: а — растяжения-сжатия; б — сдвига вдоль оси 0_Х; в — сдвига вдоль осей 0, и О,.

Деформацию записывают в виде тензора ?, аналогичного тензору напряжений. В тензоре деформации компоненты в_таи к_уу — деформации растяжения-сжатия вдоль осей х, s = —, 0,. и 0,. Чтобы сде;

" дх ^У

лать тензор деформаций симметричным, компонент ^.(рис. 2.9, в) записывают в виде.

Величина е = e_xv+ с_уу+ означает изменение объема dxdydz элементарного куба. Для жидкостей и газов деформации сдвига отсутствуют, а деформации сжатия-растяжения одинаковы по всем направлениям.

Пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями называют законом Гука:

где Е — модуль упругости (модуль Юнга).

Волновое уравнение для твердого тела выводят путем применения второго закона Ньютона к элементарному объему dxdydz? Разность сил, приложенных к его противоположным граням, приравнивают к произведению массы на ускорение. В результате получают для оси х

Аналогично можно записать уравнения для осей у и z- Подставляя вместо напряжений деформации согласно закону Гука, а также учи;

5е тывая, что —, получим.

дх

где V² — оператор Лапласа.

Учитывая, что скорость распространения акустических волн опре;

щ

деляется как с = —, волновое уравнение окончательно примет вид.

V Р

Волновое уравнение для одномерного случая приобретает более простой вид.

Как уже было отмечено ранее, в твердых, жидких и газообразных средах существует упругость объема. Таким образом, во всех средах могут существовать колебания растяжения-сжатия. Волны с такими колебаниями носят название продольных. Продольная волна — волна, направление распространения которой совпадаете направлением движения частиц. При распространении продольной волны в среде образуются области растяжения и сжатия (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Продольная и поперечная волны.

В твердом теле существуют также волны сдвига (поперечные волны). Поперечная волна — волна, направление колебания частиц в которой перпендикулярно направлению распространения (рис. 2.10). В жидкостях и газах поперечных волн не существует, т. к. в этих средах отсутствует упругость формы.

Уравнения малых упругих колебаний в неограниченной изотропной среде для плоской продольной и плоской поперечной волн имеют вид.

где с, — скорость продольной волны; с, — скорость поперечной волны.

Скорость продольной волны можно рассчитать, если известны плотность материала р, модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v:

Коэффициент Пуассона — отношение изменения ширины стержня к изменению его длины, если растяжение производится подлине. Для металлов в нормальных условиях v = 0,3. Скорость продольной волны в металлах

Скорость поперечной волны определяется по модулю сдвига G и плотности материала р

Отношение скоростей продольных и поперечных волн зависит от величины коэффициента Пуассона.

Для всех металлов при комнатной температуре значение коэффициента Пуассона близко к 0,3. В этом случае отношение скоростей составит

Таким образом, скорости продольных и поперечных волн пропорциональны квадратному корню из отношения модуля упругости к плотности, т. е. они возрастают с увеличением упругости среды (которая показывает величину деформации при заданной нагрузке) и уменьшаются с увеличением плотности.

Уравнение, описывающее распространение волны в жидкой или газообразной среде, имеет вид.

При этом квадрат скорости распространения волны равен адиабатической производной.

где р — давление; р — плотность.

Используя уравнение (2.1) и уравнение состояния идеального газа, получим выражение для скорости распространения волны.

где у — показатель адиабаты;

R — универсальная газовая постоянная;

Т — абсолютная температура;

М — молярная масса.

Показатель адиабаты является константой газовой среды, определяемой через удельные теплоемкости газа при постоянном давлении С/и постоянном объеме С_у,

Продольную волну обычно возбуждают с помощью преобразователя, вызывающего деформацию растяжения-сжатия на части поверхности ОК, а поперечную волну — преобразователя, вызывающего деформацию сдвига. Однако гораздо чаще поперечную волну возбуждают с помощью продольной волны, наклонно падающей на поверхность ОК из внешней среды. Как будет показано в следующих параграфах, при этом происходит трансформация падающей продольной волны в поперечную.

Продольные и поперечные волны (их обобщенное название — «объемные волны») наиболее широко используют для контроля материалов. Важно отметить, что скорости продольных и поперечных волн определяются физическими свойствами среды.

В табл. 2.2 приведены значения скоростей продольных и поперечных волн в некоторых средах.

Таблица 2.2

Значения скоростей продольных и поперечных волн в некоторых средах.