Предельное равновесие изгибаемых балок

Рассмотрим однопролетную балку с различными опорными закреплениями па концах при действии сосредоточенной силы посередине пролета. На рис. 13.12, а показана простая балка с шарнирными опорами. По эпюре моментов (рис. 13.12, б) можно сделать заключение, что пластический шарнир образуется в середине пролета, так как там возник максимальный момент. Из условия равенства внешнего и внутреннего моментов имеем.

Рис. 13.12.

откуда предельная нагрузка

Для балки с прямоугольным сечением W_nр = Мг/4, поэтому.

Для балки с заделкой на левом конце и с шарнирным опиранием на правом эпюра моментов для случая, когда система работает в упругой стадии, показана на рис. 13.13, а. Момент в заделке больше момента в середине пролета. При постепенном нарастании силы Р первый пластический шарнир образуется в заделке (рис. 13.13, б). Но балка при этом еще не превратилась в механизм, и только после даль;

Рис. 13.14.

нсйшсго увеличения силы Р образуется второй пластический шарнир в середине пролета. В этом случае балка превращается в двухзвенный механизм, что свидетельствует о наступлении предельного состояния. Из рис. 13.13, в очевидно, что Р1/4 = 1,5 М_пр. Следовательно, Р_пр = 6 М_пр//.

Наконец, рассмотрим балку с двумя заделками. В этом случае предельное состояние возникает при появлении трех пластических шарниров (рис. 13.14, а). В соответствии с эпюрой, показанной на рис. 13.14, б, получим Р1/4 = 2 М_пр; Р_|ф =.

= 8 Мщ,//.

Для неразрезной трехпролетной балки с нагрузкой на всех трех пролетах (рис. 13.15, а) возможны три варианта предельных равновесий (рис. 13.15, б —г). В первом варианте в механизм превращается первый пролет, во втором — второй, в третьем — третий.

Для того чтобы выяснить, какой из вариантов превращения в механизм проявится в первую очередь, необходимо рассчитать все три варианта:

Для того чтобы решить, какое из этих состояний проявится в действительности, необходимо знать характер нагружения системы. Один из вариантов заключается в том, что назначается рост всех нагрузок на всех грех пролетах пропорционально определенному множителю. Например, умножив все заданные силы на р, будем определять критический параметр Р"_р. Вместо выражений (13.10) получим.

откуда.

Рис. 13.15.

Теперь можно определить наименьший критический параметр р_пр и по нему установить пролет, который прежде всего достигнет предельного равновесия.

Из этого примера очевидно, что предельное равновесие зависит не от всех нагрузок, а только от нагрузки на том пролете, который обратится в механизм.

На основании полученных результатов можно решить задачу, как загрузить систему, чтобы предельное состояние наступало одновременно во всех пролетах. Для этого необходимо потребовать равенство трех критических параметров, определяемых выражениями (13.11). Положив р_пр1 = ⁼ Рпр2 ⁼ РпрЗ ⁼ Рпр" из формул (13.11) найдем соотношение нагрузок в трех пролетах: