Подбор аппроксимирующих функций

После того как установлен графический вид искомой функциональной зависимости, стоит задача выбора ее аналитического описания, т. е. аппроксимирующей функции. Для этого полезно иметь перед собой каталог графиков различных функций. Подборка графиков функций приводится в справочниках по математике. Поэтому рассмотрим лишь самые употребительные элементарные функции: степенные, показательные и дробно-рациональные [9].

Графики простейших степенных функций приведены на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Графики степенных функций.

Если линия на графике не имеет кривизны, то это прямая у = ах, если кривизна имеет постоянный знак вдоль всей кривой, то это парабола четной степени у = ах², симметричная относительно оси у, или у = ±а4х, симметричная относительно оси х. Для нечетных функций (у = ах³ или у = аМх) характерна S-образная форма с точкой перегиба в начале координат. По этим простейшим признакам и можно отобрать подходящую функцию.

Кривая может быть сдвинута от начала координат или повернута (например, как показано на рис. 4.5, а и б).

В этом случае надо так преобразовать переменные х и у, чтобы начало системы координат переместилось в вершину кривой, т. е. в точки х₀, у₀.

Для нахождения вершины кривой можно использовать простейший графический прием, показанный на рис. 4.5, б. Кривую пересекают рядом параллельных прямых, находят центры отрезков АВ, CD, EF и т. д. и на продолжении траектории перемещения этих центров находят вершину кривой.

Рис. 4.5. Преобразование системы координат.

Для проверки того, является ли данная функция именно степенной функцией вида у = ах¹¹, следует ее прологарифмировать.

Получаемое после логарифмирования уравнение.

есть уравнение прямой в координатах lgy, lgx. Поэтому проверка правильности выбора такой модели состоит в логарифмировании экспериментальных значений х и у и построении графика в осях lgx и lgy (рис. 4.5, в).

Если поле экспериментальных точек на этом графике удовлетворительно группируется относительно прямой линии, то выбор данной функции может быть принят окончательно.

Построение графика (см. рис. 4.5, в) следующее: одновременно найти параметры а и п аппроксимирующей функции. Для этого на графике достаточно выбрать любые две точки 1 и 2, через которые должна проходить аппроксимирующая кривая, т. е. должны одновременно удовлетворяться два уравнения:

Отсюда.

Графики показателънъис функций вида у = ае^Ъх при разных значениях b приведены на рис. 4.6, а. Их характерной особенностью является постоянный знак кривизны как при b > О, так и при b < 0.

Для проверки соответствия показательной функции экспериментальным данным удобно строить графики в полулогарифмическом масштабе, так как в координатах In у и х они образуют пучок прямых (рис. 4.6, б).

Рис. 4.6. Графики показательных функций.

Очень удобными при аппроксимации являются дробно-рационалъные функции.

Прежде чем использовать аппроксимацию многочленом, экспонентами или другими функциями, необходимо проверить, не является ли искомая кривая простейшей, сдвинутой от начала координат гиперболой.

Практическая особенность дробно-рациональных функций состоит в том, что часто исследователь не подозревает, что интересующая его зависимость легко аппроксимируется именно этими функциями.

Простая равнобокая гипербола, асимптотами которой служат оси координат, легко определяется (кривая 1 на рис. 4.7, а). Но если эта гипербола сдвинута (кривая 2), или перевернута (кривая 3), ее трудно распознать, а попытка аппроксимировать ее многочленом приводит к громоздкому выражению.

Проверка того, является ли данная кривая гиперболой, состоит в построении графика 1 / у = Дх) в координатах 1 / у их (рис. 4.7, б). Если является, то экспериментальные точки ложатся на прямую, а ее продолжение до пересечения с осями х и 1 / у позволяет графически определить неизвестные коэффициенты а, Ъ или с.

При сдвиге вдоль оси х аналитическое описание гиперболы имеет вид.

Рис. 4.7. Графики простейших дробно-рациональных функций.

Обращение оси у приводит к зависимости вида.

т. е. прямой в координатах 1 /у их.

Замена координаты у на 1 /у допустима лишь в том случае, если сдвиг по этой координате отсутствует, так как при сдвиге вдоль оси у уравнение гиперболы имеет вид.

следовательно,.

не есть прямая линия.

Особенно сложен для проверки случай, когда гипербола сдвинута одновременно по обеим осям (на величину с по оси у и на величину b по оси х), т. е. имеет уравнение у = с + а / /(х — Ъ) или в неявном виде (х — Ь) (у — с) = а. В этом случае приходится двигаться методом последовательных приближений: задавать ряд возможных значений Ъ, вычислять значения 1 / (х — Ь) и остановиться на том значении Ь, когда функция у = с + а/(х-Ъ) в координатах у и 1 / (х-Ъ) даст расположение точек, наиболее близкое к прямой линии.

В качестве примера дробно-рациональной функции рассмотрим функцию вида.

Задавать постоянное слагаемое в знаменателе в виде Ъ^п удобнее для последующей интерпретации, так как в этом случае постоянная Ъ имеет размерность х.

При т = О, Ь = Оип = 1 эта функция — простая гипербола вида у = а / х (кривая 1 на рис. 4.8, а);

при m = 0 и n = 1 — кривая 2 на рис. 4.8, а видау = а / (Ь + х); при m = 1 и п = 2 — кривая 3 на рис. 4.8, а видау = ах / Ь² + х²); при m = 1 и n = 1 — кривая 4 на рис. 4.8, б видау = ах / ф + х) (вначале возрастающая линейно с увеличением х, а затем стремящаяся к постоянному значению, равному а);

при т = п — кривая 5 на рис. 4.8, б видау = ах^п / (Ъ^п + х^п), переходящая с уровня у = 0 на уровень у = а с крутизной, зависящей от значения п = т;

при т = 2ип = 4—колоколообразная кривая 6 на рис. 4.8, б вида у = ах² / ф⁴ + х⁴), сначала возрастающая пропорционально х², а затем спадающая обратно пропорционально х².

Рис. 4.8. Графики дробно-рациональных функций.

Таким образом, функции этого вида могут оказаться полезными в самых разнообразных случаях аппроксимации экспериментальных кривых.