Расширения полей. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

Алгебраический над данным полем элемент и его минимальный многочлен

Алгебраические и трансцендентные элементы над полем

Введем основные понятия.

Определение 4.1. Если поле Р является подполем поля F, то F называется расширением поля Р. При этом элементы из F Р называются иррациональными над полем Р.

Определение 4.2. Пусть поле F является расширением поля Р. Элемент а е F называется алгебраическим над полем Р, если существует ненулевой многочлен Дх) е Р[х], имеющий, а своим корнем. В противном случае элемент, а называется трансцендентным над полем Р. Числа алгебраические (трансцендентные) над полем Q называются просто алгебраическими (соответственно трансцендентными).

Определение 4.3. Пусть поле F является расширением поля Р. Элемент а е F Р, являющийся алгебраическим над полем Р, называется алгебраической иррациональностью над полем Р.

Рассмотрим примеры.

• 1. Числа 72, у/5, п, е, 2п + 1 являются иррациональными над полем Q, или просто иррациональными. Из них только первые два являются алгебраическими иррациональностями над полем Q, а остальные трансцендентны над Q. Всякое трансцендентное число является иррациональным.
• 2. Докажем, что число 72 +3i является алгебраическим. Обозначим, а = 72 + 3i и возведем равенство в квадрат: а² = 2 + + 6iT2−9. Отсюда а² + 7 = 6iT2. Снова возведем в квадрат: (а² + 7)² = -72, а⁴ + 14а² + 49 = -72, а⁴ + 14а² + 121 = 0. Следовательно, число, а является корнем многочлена х⁴ + 14х² + 121, а значит, является алгебраическим числом.
• 3. Всякое мнимое число (с ненулевой мнимой частью) является алгебраической иррациональностью над полем R.
• 4. Заметим, что всякий элемент, а поля Р является алгебраическим над Р, так как он является корнем многочлена х — а с коэффициентами из Р.