Основные силы сопротивления движению механических систем

Основные понятия о центре тяжести тел

Любое тело можно представить как совокупность множества материальных точек. В каждой точке действует элементарная сила тяжести — G_r Векторы всех сил G, параллельны, а их равнодействующая равна силе тяжести всего тела G =^G, — (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Тело как совокупность множества материальных точек

Точка 5 приложения равнодействующей силы, т. е. силы тяжести тела называется центром тяжести тела. Положение 5 точки относительно выбранных координат (координаты центра тяжести тела) легко определяются из уравнений статики. Для определения координат точки 5, куда приложена равнодействующая параллельных сил, используем уравнение статики 2Ж = о. Подставляя в это уравнение значения моментов сил, получаем.

откуда.

Аналогично для сил действующих параллельно оси 0у

Соответственно.

Если центр тяжести S является началом координат, то x_s = 0, y_s = 0, z_s = 0. В этом случае вращение тела вокруг любой оси, проходящей через точку S, наиболее устойчиво.

Следствие: поступательное движение тела можно рассматривать как поступательное движение материальной точки — центра тяжести.

Для тел, объемы и площади сечения которых могут быть получены вращением, соответственно, площади (для получения объема) или какой-либо кривой (для получения площади фигуры) центры тяжести более просто определяются на основании следующих формул Гюльдена (их доказательства даны в дополнительной литературе).

где W — объем тела вращения, полученного вращением площади F вокруг оси симметрии.

Центр тяжести дуги.

где L — длина дуги; F— площадь поверхности вращения полученной вращением этой дуги вокруг оси.

Покажем несколько примеров определения центров тяжести тел. Пример: определение центров тяжести площади и дуги. 11еобходимо найти центры тяжести площади и дуги полуокружности радиусом R (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Центры тяжести простейших фигур.

Площадь полуокружности /'= nR²/2₁ объем шара, полученного вращением этой площади, Тогда центр тяжести площади имеет координату Соответственно, центр тяжести дуги Л В имеет координату при длине дуги L = nR и площади поверхности шара F = 4кК² (полученной при вращении дуги ЛВ вокруг пунктирной оси)

Справка 4: о центрах тяжести (ЦТ) простейших фигур Для окружности ЦТ совпадает с центром симметрии фигуры, для четырехугольника — ЦТ находится на пересечении диагоналей; для треугольника — ЦТ находится на пересечении медиан (медиана — прямая, проведенная из угла треугольника и делящая противоположную сторону пополам); ЦТ кругового сегмента (рис. 5.2, 6) имеет координату

Пример: определение центров тяжести составной фигуры. Найти I (Т сечения фигуры, образованной двумя прямоугольниками и полуокружностью (рис. 5.3).

Рис. 53- Составная фигура: два прямоугольника и полуокружность Координаты центров тяжести отдельных фигур равны.

где центр тяжести полуокружности взят из предыдущего примера.

По формулам (4.3) и (5.1), учитывая, что толщина плоских тел одинакова, координаты сечения.

где F_j — площади элементарных фигур. Подставив значения F, = h_{l_v F₂ = = 2Ш₂, F₃ = nlF/2, получим.

Формулы (5.6) используются для определения координат ЦТ плоских тел (тел, сечения которых в плоскости хОу не изменяются при их перемещении вдоль оси Oz).