Одномерное уравнение диффузии Фика

В 1855 г. Фик (А. Fick) предложил теорию диффузии. В основу этой теории положена аналогия между процессами переноса в жидких растворах и тепла за счет теплопроводности. Фик предположил, что в разбавленных жидких или газообразных растворах в отсутствие конвекции перенос атомов через площадку единичной площади при одномерном направлении потока может быть описан уравнением:

где J — скорость переноса растворенного вещества через сечение единичной площади или диффузионный поток; С — концентрация растворенного вещества, которая, как предполагается, зависит только от .V и I; х — ось координат, совпадающая с направлением потока вещества; I и D — время и коэффициент диффузии.

Уравнение (3.1) показывает, что локальная скорость диффузии через сечение единичной площади за единицу времени пропорциональна градиенту концентрации растворенного вещества , а в качестве коэффициента пропорциональности выступает коэффициент диффузии растворенного вещества. Знак минус означает, что процесс переноса вещества происходит в направлении уменьшения концентрации растворенного вещества (т.е. градиент отрицательный). Это уравнение называют первым законом Фика.

Из закона сохранения вещества (закона непрерывности) следует, что изменение концентрации растворенного вещества со временем должно быть равно уменьшению диффузионного потока в том же объеме, где произошло изменение концентрации, т. е.

Подставляя уравнение (3.1) в (3.2) придем ко второму закону Фика для одномерного случая:

При низких концентрациях растворимого вещества коэффициент диффузии можно считать постоянным и уравнение (3.3) можно записать в виде:

Уравнение (3.4) часто называют простым диффузионным уравнением Фика. В этом уравнении D имеет размерность см ²/с или мкм²/ч, а С — см' Получены решения уравнения (3.4) для различных простых начальных и граничных условий. Наиболее часто используемые решения приводятся ниже.