Примеры определения критической нагрузки энергетическим методом

Пример 11.1. Для оценки результатов, получаемых энергетическим методом, рассмотрим шарнирно опертую стойку постоянного сечения (см. рис. 11.2, а). Примем форму потери устойчивости в виде синусоиды, которая в данном случае удов;

пх

лстворяст граничным условиям, у (х) =/sin—.

Вычислим производные от этой функции и интегралы, входящие в формулу (11.7):

В результате получили точное значение критической силы, так как приняли истинную форму потери устойчивости.

В общем случае предвидеть истинную форму потери устойчивости затруднительно. Чтобы не было произвола, С. П. Тимошенко предложил принимать форму кривой, возникающей от сосредоточенной силы, приложенной посередине стержня перпендикулярно его оси (см. рис. 11.2, г). Ввиду наличия симметрии вычисления достаточно провести на половине стержня: Е1у" (х) = -М (х).

При х < 0,5/ М (х) = 0,5.г и у" (х) = — ——

х

Проинтегрируем это выражение:

Произвольную постоянную определим из условия, что при х = 0,5/ у' = 0 (из-за.

' /²

симметрии). Получаем С = — —. В итоге имеем.

Далее вычислим интегралы, входящие в формулу (11.7):

Получаем v = VT0 =3,16. Это значение, как и следовало ожидать, больше я. Расхождение меньше 1%.

Пример 11.2. Определим критическую нагрузку и расчетную длину стержня, изображенного на рис. 11.3, а.

Рис. 113. Стержень, нагруженный продольной распределенной нагрузкой.

Решение

Для описания формы потери устойчивости примем следующую функцию: пх

у (х) = fs — (см. оси координат на рис. 11.3, б). В рассматриваемом случае продольная сила по длине стержня — переменная. Закон ее изменения при q = const представлен на рис. 11.3, в, т. е. F = qx, поэтому для решения задачи используем выражение (11.2) или (11.6):

Подставим оба значения в формулу (11.2) и определим ( кр:

Расчетная длина стержня Из формулы (11.8) можно определить предельную длину идеально прямого защемленного внизу стержня, при которой он может сохранять прямолинейную форму равновесия, если нет различных помех. Пусть это будет швеллер № 10. Минимальный момент инерции I = 25,6 см⁴; q = 1 Н/см; Е = 2,1? 10⁷ Н/см²;

Пример 11.3. Определим критическую нагрузку для стержня переменного сечения (рис. 11.4). За форму потери устойчивости примем синусоиду.

Решение

тт г Ьа' (2х

Имеем 1₀ = ——, 1_Х = 1«I 1 +— I, для половины стоики;

Рис. 11.4. Стержень переменного сечения.

Подставим эти значения в формулу (11.7), получим.

Упражнение 11.1. Определите критическую нагрузку для стержня переменного сечения (рис. 11.5, а) [7]. Функция изменения момента инерции.

4x (J — х)

в направлении изгиба имеет вид 1_Х = /₀-—-. За форму потери устойчиво;

4/т (/ - х)

сти принять следующее выражение: у (х) =-—-.

Рис. 11.5. Расчетные схемы к упражнениям 11.1 и 11.2.

Упражнение 11.2. Определите критическую силу для рамы, представленной на рис. 11.5, б [ 13]. Функции формы потери устойчивости одинаковы для.

TLX

обеих стоек: у{х) =/мт— (но имеем различные И).