«Физическое» восстановление сигналов

Теорема Котельникова: если функция X (t), обладающая спектром с граничной частотой/_с, дискретизирована циклически с периодом Т_ц < 1 / 2/_с, то она может быть восстановлена по совокупности ее мгновенных значений без погрешности интерполяционным рядом Котельникова.

гдеоо < t < +оо, t_l = кГ_ц.

Этот ряд образован на основе так называемой функции отсчетов (функции времени) (рис. 6.14):

Рис. 6.14. График функции отсчетов.

Тогда выражение (6.7) имеет следующий вид:

Таким образом, непрерывный сигнал x (t) может быть представлен суммой произведений мгновенных значений сигнала х (^), взятых с интервалом Т_ц = 1 / 2/_с на функцию отсчетов.

Функция отсчетов при t = кТ_ц достигает максимума, равного единице; при t = (к ± п) Т_ц она равна нулю.

Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с полосой [0,/_с] на входное воздействие в виде единичной импульсной функции (5-функции) (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Реакция ФНЧ на входное воздействие в виде 5-функции.

Следовательно, если дискретизированный с шагом Т_ц = 1 / 2/_с сигнал х_д(0 подать на вход идеального фильтра с границами.

[О,/_с], то на выходе получим восстановленный без погрешностей непрерывный сигнал х_в(0 (рис. 6.16).

Рис. 6.16. Восстановление сигнала по методу Котельникова.

Недостатки восстановления сигналов по методу В. А. Котельникова:

• 1) теорема Котельникова применима для полиномов с ограниченным частотным спектром, а реальные сигналы х (0 всегда ограничены во времени и поэтому имеют бесконечный частотный спектр. Но на практике с достаточной точностью можно ограничить сигнал частотой /_с (считая, что при / > /_с спектр близок к нулю) и пренебречь влияниями высших гармоник;
• 2) при фильтрации реальный сигнал восстанавливается приближенно, так как функция отсчетов обладает бесконечной протяженностью во времени.

Таким образом, при восстановлении сигнала возникает погрешность. Но при известном сигнале погрешность может быть оценена.

Восстановление полиномом Лагранжа.

При восстановлении степенными полиномами восстановленная функция имеет вид.

где x (t) — значения отсчетов дискретизированной функции; Ифл (?-?;) — интерполяционный полином Лагранжа вида.

где t_0m, i-0,1, …, m; m — степень полинома.

Здесь значения коэффициентов q₍ равны значениям отсчетов, т. е. q, = jc (tj).

При интерполяции функция x (t) на каждом участке между известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону (например, горизонтальной прямой при ступенчатой интерполяции, отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной интерполяции, участком параболы при параболической).

При т = 0 осуществляется ступенчатая интерполяция;

при т = 1 — кусочно-линейная интерполяция;

при т = 2 — квадратичная ступенчатая интерполяция;

при т = 3 — кубическая ступенчатая интерполяция и т. д.

Наибольшую разность между интерполированными и действительными промежуточными значениями функции х (?) называют мгновенной погрешностью от интерполяции Дх_и.

Погрешность от интерполяции зависит от закона изменения x (t). Если x (t) — линейная функция, оптимальный закон интерполяции является линейным. Погрешность от интерполяции будет тем меньше, чем меньше шаг дискретизации Г_ц. При усложнении способа интерполяции значительно возрастают стоимость и сложность аппаратуры.

Ступенчатая интерполяция

Ступенчатая интерполяция выполняется по одному отсчету полиномом нулевой степени (т = 0) Р_т(х) = 1 весовой функцией W^Ct-to) = П (т/Г_б) на интервале (?₀ +Т_Ц /2)>?>(?-Г_ц/2).

При ступенчатой интерполяции все мгновенные значения x (t) в течение времени Т_ц между моментами измерения t₍— и t_i+1 заменяются значениями x (tj) в момент Ц (рис. 6.17). В этом случае выражение (6.8) перепишется следующим образом:

Максимальное значение будет на наиболее крутом участке функции (см. рис. 6.17).

Кусочно-линейная интерполяция.

При использовании степенных полиномов первого порядка (m = 1) кривая в промежутке между двумя известными значениями заменяется отрезком прямой вида.

В соответствии с построениями, приведенными на рис. 6.18, имеем.

где (0 = q₀; [х₂(О-х_г(t)]/(t₁-t₂) = q₁;t₁-t₂ = T_n.

Рис. 6.17. Пример ступенчатой интерполяции.

С учетом периода дискретизации Т_ц и того, что полином Лагранжа нулевой степени (т = 0) определяется функцией окна W₁ =П (т/Гц), а полином первой степени (m = 1) — функцией вида W₂ =т®П (т/Гц), восстановленный сигнал на всем участке восстановления в соответствии с выражением (6.8) примет вид.

Рис. 6.18. Пример кусочно-линейной интерполяции.