Расширение линейной множественной регрессии

В уравнение регрессии обычно включаются переменные х, существенные с точки зрения экономической теории и принимающие значения в некотором интервале. Некоторые из них в свою очередь могут быть функциями других переменных. Например, х,. =^z~, а х =lgz и т. п. Модель при этом должна оставаться линейной относительно се параметров и удовлетворять всем свойствам, необходимым для применения обыкновенного метода наименьших квадратов.

При изучении социально-экономических явлений в некоторых случаях необходимо включить в модель такие факторы, которые отражают, в том числе, различные качественные уровни. Это имеет место при существенных изменениях общих условий, при временном сдвиге, анализе атрибутивных признаков, таких, например, как пол, образование, принадлежность к социальным или профессиональным группам и т. д. Иногда это связано с потребностью изучения большого числа количественных переменных.

Такие специальным образом сконструированные переменные называются фиктивными переменными. Эти переменные вводятся в модель и оцениваются, однако им должны быть присвоены при этом некие цифровые метки, осуществляющие преобразование качественных переменных в количественные.

Рассмотрим пример функции спроса на кредитные услуги банков. Пусть имеет место линейная зависимость потребления таких услуг по сельским и городским домохозяйствам в зависимости от доходов. В общем виде для обследуемой совокупности уравнение регрессии имеет вид:

где у — величина обязательств (долга) по кредитам, х — доход на одного члена семьи. Аналогичные уравнения можно найти отдельно для домохозяйств на селе и в городе: у₁ = а_х + 6,х_{ + гг, и у₂ = а₂ + Ь₂х₂ + е₂. Различия обусловлены особенностями ведения домашнего хозяйства, психологией сельских и городских жителей, определяющих в конечном счете их кредитное поведение. Средние характеристики объемов обязательств городских и сельских домохозяйств у_{ и у₂ будут различными.

Объединение уравнений у/ и у2 возможно с включением фиктивных переменных:

Зависимая переменная у в уравнении (4.40) является функцией не только дохода х, но и типа домохозяйства (городского или сельского) (zi, Z2). Переменная z рассматривается как дихотомическая переменная, принимающая два значения: 1 и 0. Когда zi=l, Z2=0 и, наоборот, при z/=0, Z2=l.

Общее уравнение регрессии (4.40) для городского домохозяйства будет иметь вид: у = а_{ + b? х. Для сельского домохозяйства соответственно уравнение регрессии принимает вид: у =а₂+Ь-х. Параметр b является общим для всей совокупности домохозяйств, а различия кредитного поведения городских и сельских семей обусловлены свободными членами уравнения регрессии.

Матрица исходных данных будет иметь вид:

В соответствии с приведенной матрицей первые два домохозяйства в исследуемой совокупности являются сельскими, следующее — городское, следующее — сельское и т. д., наконец, два последних из п являются городскими. Для оценки параметров уравнения может использоваться метод наименьших квадратов.

Фиктивных переменных может быть введено более двух групп, что позволяет углубить исследование. В рассмотренном примере кредитное поведение домохозяйств будет зависеть, например, от объема накопленных активов, возраста главы семьи, наличия и количества детей и т. п.

Пример подобного подхода приведен Дж. Джонстоном (1, с. 182−185). Описано изучение динамики социально-экономических систем на основе совместного анализа социологических и некоторых других переменных с традиционными экономическими переменными.

В исследовании распределения семей по признаку долга по закладным задача разбита на две части. Вначале предсказывается вероятность наличия долга, а затем для семей с ненулевым долгом предсказывается его величина.