Поведение аналитической функции в бесконечности

Окрестность бесконечно удалённой точки.

До сих пор, исследуя поведение однозначной функции в окрестности изолированной особой точки, мы предполагали, что эта точка лежит на коне жом расстоянии в плоскости комплексного переменного. Окрестностью изолированной особой точки а мы называли множество всех точек 2, отличных от точки а, лежащих внутри круга с центром в точке а столь малого радиуса, чтобы во всех таких точках z функция была голоморфной. Опишем из нулевой точки, как центра, окружность радиуса R и допустим, что при достаточно большом R данная функция f (z) не имеет особых точек вне круга радиуса R. В этом случае мы скажем, что бесконечно удалённая точка является изолированной особой точкой для данной функции. Множество всех точек плоскости, лежащих вне этого круга радиуса R (или радиуса, большего, чем /?), мы назовём окрестностью бесконечно удалённой точки. Итак, предположим, что данная функция f (z) есть голоморфная в окрестности бесконечно удалённой точки, т. е. при z^>R. Полагая 2 = —, мы видим, что функция.

определена и голоморфна при z' |<^^-, ³³ исключением точки.

z'= 0. Следовательно, окрестности бесконечно удалённой точки плоскости z соответствует окрестность нулевой точки плоскости z причём в соответствующих точках zwz' функции f (z) и (z') имеют равные значения.

Отсюда естественно условиться называть бесконечно удалённую точку существенно особой точкой функции f (z), полюсом горядка т или устранимой особой точкой в зависимости от того, будет ли нулевая точка для функции cp (z') существенно особой точкой, по; юсом порядка т или устранимой особенностью.