Уравнения Эйлера.
Теория автоматического управления.
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы
Это равенство должно выполнятся при произвольной функции у (/) G € СЧ^сьМ)" и" в частности, когда все ее компоненты, кроме одной, равны нулю: yj ф 0 и yi = 0 при всех i Ф j. Полагая, что j пробегает все значения от 1 до р, из последнего уравнения получим. Выкладки при выводе уравнения (9.19) не изменятся и в случае, когда y (t) — векторная функция. Покажем, как в случае векторной функции у… Читать ещё >
Уравнения Эйлера. Теория автоматического управления. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим сначала простейшую задачу классического вариационного исчисления.
Пока для простоты будем считать, что y (t) является скалярной функцией и принадлежит классу Cl([to, tf]) непрерывно дифференцируемых функций на интервале [to, tf]. Экстремум ищется среди функций указанного класса, удовлетворяющих заданным краевым условиям. Такие функции будем называть допустимыми.
Пусть экстремум достигается на допустимой функции y*(t). Функция y (t) = у* (t) + ey (t) (s — число) будет допустимой, если y (t) € еСЧМ/]) и выполняются краевые условия.
При каждой фиксированной y (t) получаем функцию от числового аргумента 
которая достигает экстремума при е — 0. Поэтому согласно необходимому условию экстремума производная этой функции по? в точке е = 0 обращается в нуль:
Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая краевые условия (9.18), получим.
Согласно основной лемме вариационного исчисления, при произвольной функции y (t) € C1([to^t/]) последнее равенство возможно, если только 
Это уравнение называется уравнением Эйлера.
Таким образом, если функция y*(t) доставляет экстремум функционалу (9.16), она удовлетворяет уравнению Эйлера.
Допустимая функция, удовлетворяющая уравнению Эйлера, называется экстремалью или стационарной точкой задачи (9.16), (9.17). Следовательно, решения задачи (9.16), (9.17) являются экстремалями. В общем случае обратное неверно: не всякая экстремаль будет решением рассматриваемой задачи.
Выкладки при выводе уравнения (9.19) не изменятся и в случае, когда y (t) — векторная функция. Покажем, как в случае векторной функции у (?) из уравнения (9.19) получить векторное уравнение Эйлера (9.20).
По определению производные скалярной функции /о по векторным переменным у = (2/12/2 • •• УР)Т и у = (у у2 … ур)т являются вектор-строками (см. параграф 1.9):
Умножив эти вектор-строки на вектор-столбец у = {ух у2 … ур)т, соотношение (9.19) можно представить в виде.
Это равенство должно выполнятся при произвольной функции у (/) G € СЧ^сьМ)" и" в частности, когда все ее компоненты, кроме одной, равны нулю: yj ф 0 и yi = 0 при всех i Ф j. Полагая, что j пробегает все значения от 1 до р, из последнего уравнения получим.