Теория вычетов. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

§ 1. Общая теория вычетов

Вычет функции относительно изолированной особой точки.

Если функция f (z) есть голоморфная в некоторой точке а, то по теореме Коши (гл. IV, § 2, п. 3) имеем: где путём интегрирования С служит произвольный, гладкий замкнутый контур, содержащий внутри себя точку а и малый настолько, что функция f (z) остаётся голоморфной всюду внутри этого контура, включая точки самого контура. Если же а будет изолированная особая точка функции f (z), и замкнутый контур С целиком лежит в окрестности этой точки а, то значение нашего интеграла J f (z) dz будет, вообще говоря, отличным от нуля. Это значение, как следует из теоремы Коши (гл. IV, § 2, п. 5), не зависит от формы контура С и легко может быть вычислено. В самом деле, в окрестности точки а —^alr) функция f (z) может быть разложена в ряд Лорана (гл. VI, § 2, п. 1):

который будет равномерно сходящимся на линии С, так как контур С лежит в окрестности точки а. Интегрируя почленно ряд (2) вдоль линии С, получим:

так как имеют место равенства:

Значение интеграла j f (z)dz условимся называть вычетом (residu).

функции f (z) относительно особой точки а. Согласно равенству (3) вычет функции f (z) относительно особой точки а равен г_, т. е. коэффициенту при первой отрицательной степени разложения Лорана (2). Отсюда непосредственно вытекает, что вычет функции может быть отличным от нуля только в том случае, если а есть полюс или существенно особая точка (гл. VI, § 2, п. 1); для устранимой особой точки вычет непременно равен нулю (гл. VI, § 2, п. 1).