Риск и доходность

Выбор между инвестиционными альтернативами требует знания их характеристик. В то время как мы можем охарактеризовать инвестиции по различным параметрам, теория портфельных инвестиций опирается главным образом на соотношение риска и доходности.

Доходность

Доходность — отношение средств, полученных или потерянных от инвестиций по отношению к объему вложенных средств. Однако, это определение необходимо уточнить. Предположим, что есть выбор между двумя бсскупонными облигациями, с разными сроками погашения и номинальной стоимостью 100 евро. Как можно сравнить эти облигации?

Можно применить это определение и рассчитать доходность за период владения активом (Holding period return, HPR) за период от t=0 до t=T по формуле:

где Рт — цена, при t=T (конец периода владения активом) и Ро — цена, при t=0 (начало периода владения активом). Рт является окончательной выплатой, и Ро — первоначальные инвестиции. В данном случае мы не учитываем дивиденды или платежи по купону, поскольку за бескупонные облигации отсутствуют промежуточные выплаты.

В случае, когда имеют место промежуточные платежи, такие как дивиденды, доходность за период владения активом рассчитывается по следующей формуле:

где D — сумма всех дивидендов (или других промежуточных выплат).

Рассмотрим следующий пример. В таблице 1.1 представлены активы для инвестирования, их цены, срок погашения, и доходность за период владения активом:

Таблица 1.1.

Очевидно, что доходность за период владения активом увеличивается от облигации, А к облигации С. Это, однако, не обязательно означает, что облигация С «лучше», чем облигации, А и В. Просто нельзя сравнивать эти облигации, поскольку срок погашения по этим облигациям является разным. Доходность за период владения активом является хорошим показателем для сравнения, только если срок погашения одинаковый. В противном случае мы должны «нормализовать» доходность за период владения активом. Как правило, в данной ситуации рассчитывают, так называемую «годовую доходность».

Например, можно разделить доходность за период владения активом на срок погашения. Это, так называемая, годовая процентная ставка или средняя процентная ставка (annual/average percentage rate, APR):

Годовая процентная ставка, однако, не учитывает реинвестирования получаемого дохода за период до срока погашения. Предположим, мы хотим купить облигацию В. Через 5 лет мы получим 100 евро, с первоначальными вложениями в размере 80 евро. Доход составит 20 евро. Если мы решим реинвестировать полученные средства в те же облигации, по истечению пяти лет (при условии, что облигации все еще доступны, и цена не изменилась), мы сможем получить доход более чем 20 евро в течение второго периода в пять лет. Поскольку теперь мы можем инвестировать 100 евро вместо 80 евро и купить в 1,25 раза облигаций В, это приведет к выплатам в размере 125 евро, а не 100 евро после 10 лет. Эта возможность реинвестировать средства не учитывается с помощью годовой процентной ставки, однако, учитывается с помощью эффективной годовой процентной ставки (effective annual rate, EAR):

Очевидно, что APR — это не что иное, как среднее арифметическое доходности, a EAR — среднее геометрическое доходности. Соответственно, отношение между ATR и EAR выглядит следующим образом:

Соответствующая доходность на наши облигации с нулевым купоном: ____.

Очевидно, что облигация С предлагает наибольшую доходность за период владения активом, но если рассмотреть все это с точки зрения времени до срока погашения, то ситуация кардинально меняется. В целом, при сроке погашения более 1 года, APR больше, чем EAR. Это происходит, потому что с возможностью реинвестиций нам необходимо снизить внутренние процентные ставки, чтобы получить ту же самую конечную прибыль. Кроме того, можно заметить, что порядок альтернатив не зависит от выбора APR против EAR, но существует разница, из-за эффекта сложных процентов. Соответственно, разница увеличивается с увеличением срока погашения.

Заметим, что на практике в основном применяют логарифмическую доходность (г,), вместо процентной доходности:

Для маленькой доходности разница не такая большая, потому что вокруг значения 1 логарифмическая функция может хорошо аппроксимироваться линейной функцией. С другой стороны, логарифмическая доходность имеет несколько существенных преимуществ. Во-первых, можно легко объединить доходы при более низкой частоте выплат, только путем обобщения доходов при высокой частоте выплат. Это означает, что можно рассчитать ежемесячную доходность как сумму ежедневной логарифмической доходности, принимая во внимание, что расчет является более сложной задачей, в случае расчета процентной доходности:

Во-вторых, с помощью логарифмической доходности можно найти начальную цену, после повышения цен, например, на 0,10 (10%), за которым следует снижение на 0,10. В качестве примера, предположим, что акции торгуются по цене 100 евро. Увеличение на 10% (или 0,10 в десятичной системе счисления) приведет к тому, что цена за акцию составит 110 евро. Если цена вновь снизится на 10% (от цены ПО евро снижение составит 11 евро), следовательно, акция будет стоить 99 евро, таким образом, меньше, чем первоначальные ИХ) евро. Если работать с логарифмической доходностью, то уже при росте цены на 0,10, новая цена акции будет равна 110,52 евро^[1]. Если цена снова упадет на 0,10, мы снова возвращаемся к начальной стоимости акции — 100 евро, так как 1п (100) — 1п (110,52) = - 0,10.

• [1] Так как 1п (110,52) — 1п (100) = 0,10. Обратите внимание, что естьнебольшая разница в процентах при росте на 0,10. Эта разница является незначительной при измеении на 1 процентный пункт.