Моделирование процессов функционирования систем на базе (1-схем)

Особенности использования при моделировании систем непрерывно-стохастического подхода, реализуемого в виде ()-схем_у и основные понятия массового обслуживания были даны в § 2.5. Рассмотрим возможности использования ?>-схем для формального описания процесса функционирования некоторой системы 5. Характерная ситуация в работе таких систем — появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования. В общем случае моменты поступления заявок в систему? из внешней среды Е образуют входящий поток, а моменты окончания обслуживания образуют выходящий поток обслуженных заявок [6, 13, 39, 51, 53].

Формализация на базе О-схем. Формализуя какую-либо реальную систему с помощью О-схемы, необходимо построить структуру такой системы. В качестве элементов структуры (2-схем будем рассматривать элементы трех типов: И — источники; Н — накопители; К — каналы обслуживания заявок.

Пример структуры системы 5, представленной в виде (2-схемы, приведен на рис. 8.4. Кроме связей, отражающих движение заявок в (?-схеме (сплошные линии), можно говорить о различных управляющих связях. Примером таких связей являются различные блокировки обслуживающих каналов (по входу и по выходу): «клапаны» изображены в виде треугольников, а управляющие связи — пунктирными линиями. Блокировка канала по входу означает, что этот канал отключается от входящего потока заявок, а блокировка канала по выходу указывает, что заявка, уже обслуженная блокированным каналом, остается в этом канале до момента снятия блокировки (открытия «клапана»). В этом случае, если перед накопителем нет «клапана», при его переполнении будут иметь место потери заявок. Помимо выходящего потока обслуженных заявок можно говорить о потоке потерянных заявок.

Как отмечалось выше, Q-cxeмy можно считать заданной, если определены: потоки событий (входящие потоки заявок и потоки обслуживаний для каждого Н и К); структура системы 5 (число фаз ?^ф, число каналов обслуживания ?^к, число накопителей Ь^н каждой из Ь^ф фаз обслуживания заявок и связи И, Н и К); алгоритмы функционирования системы (дисциплины ожидания заявок в Н и выбора на обслуживание К, правила ухода заявок из .Ни К).

Рис. 8.4. Структура системы, представленной в виде 0-схемы.

Рассмотрим возможности формализации воздействий внешней среды Е, представляемых в Q-cxeмax в виде источников (И). Формирование однородных потоков событий, заданных в общем виде многомерным интегральным законом или плотностью распределения вероятностей, т. е.

сводится к рассмотренным ранее методам машинной имитации Аг-мерных векторных величин, требующих больших затрат машинных ресурсов. При моделировании систем, формализуемых в виде Q-cxeм, часто возникают задачи имитации потоков заявок с некоторыми ограничениями, позволяющими упростить как математическое описание, так и программную реализацию генераторов потоков заявок.

Так, для ординарных потоков с ограниченным последействием интервалы между моментами поступления заявок являются независимыми и совместная плотность распределения может быть представлена в виде произведения частных законов распределения:

при /> 1 являются условными функциями плотности величин у, при условии, что в момент начала I-го интервала поступит заявка. Относительно начального момента времени 1₀ никаких предположений не делается, поэтому функция /, (у,) безусловная.

Если поток с ограниченным последействием удовлетворяет условию стационарности, т. е. вероятность появления к событий на интервале (/₀, /₀ + Д/) зависит только от длины интервала А/, то при />0 интерва.1ы т, распределены одинаково, т. е.

Плотность распределения первого интервала /, (у,) может быть найдена с использованием соотношения Пальма.

где X — интенсивность потока событий.

Порядок моделирования моментов появления заявок в стационарном потоке с ограниченным последействием следующий. Из последовательности случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0, 1), выбирается случайная величина и формируется первый интервал у_х в соответствии с (8.1) любым из рассмотренных выше способов формирования случайной величины. Момент наступления первого события 1_Х" /₀+у, следующие моменты появления событий определяются как.

где ук — случайная величина с плотностью /(у).

Пример 8.2. Пусть при моделировании некоторой системы необходимо сформировать на ЭВМ простейший поток заявок. Распределение длин интервалов между заявками является экспоненциальным, т. е./(у)"2е^_^, у>0.

Используем формулу Пальма для определения первого интервала у, т. е.

Из этого выражения следует, что f_x (у_д)ш/ (у), т. е. первый интервал распределен так же, как и остальные. Этого и следовало ожидать ввиду отсутствия последействия в простейшем потоке. Формируя на ЭВМ равновероятностные случайные числа X/ на интервале (0, 1), будем преобразовывать их в соответствии с выражением J/(у)dy—Xj. Тогда длина интервала между (/— /)-м н /-м событиями у/— —(½) tax/, о, а моменты появления заявок в потоке определяются согласно (8.2).

Пример 83. Пусть при моделировании некоторой системы требуется сформировать на ЭВМ поток событий, равномерно распределенных на интервале (а, Ь.) функция плотности интервалов между событиями /(у)*" 1/(6—а), а^у^Ь.

Распределение первого интервала между началом отсчета и первым событием.

Интенсивность потока.

Тогда.

Заметим, что математическое ожидание первого интервала А/[у,] отличается от математического ожидания интервалов при /> 1:

Длины интервалов между событиями будут.

Так, например, при /> 1 получим.

где XI — случайная величина, равномерно распределенная на интервале (0, 1).

Пример 8.4. Рассмотрим формирование на ЭВМ потока Эрланга, в котором между последовательными событиями закон распределения интервалов.

Пусть к -2 (поток Эрланга второго порядка). Тогда распределение первого интервала находится по формуле Пальма:

Для определения у_х решают трансцендентное уравнение вида.

При /> 1 интервалы у/ между последовательными событиями в потоке Эрланга второго порядка формируются с учетом того, что у₁ представляет собой сумму двух случайных величин у и у', одинаково распределенных по показательному закону с интенсивностью X. Для нахождения у, необходимо определить у', и у" и вычистить сумму у/+уЛ Тогда.

Вели реализация моделируемого случайного процесса оказывается достаточно длинной, то можно положить f?^У)^ш/(y? /> 1, т. е. считать, что все интервалы одинаково распределены. Влияние такого допущения на результаты моделирования системы 5 будет незначительным.

Проведем анализ принципов формирования потока событий, описываемого нестационарным распределением Пуассона с мгновенной плотностью потока, А (г).

С учетом выражения первого интервала.

плотность распределения длины.

где.

— математическое ожидание числа событий на интервале (/₀,.

/_о+Л0•.

На основании соотношения.

запишем уравнение.

Из (8.3) аналитически или любым приближенным способом определяется у,. Дальнейшая методика моделирования случайной величины у при «> 1 аналогична формированию уц с использованием условной функции распределения.

где //_ 1 — момент наступления (/— 1)-го события.

Уравнение для нахождения очередного значения интервала имеет вид, а (//_[, У/) — —)пх_{.

Чтобы описать неординарные потоки событий, для которых 1ппР_ж(/₀, /_о + А/)*0, кроме задания законов распределения моментов появления г, необходимо определять распределение количества событий в рассматриваемый момент временя. Если количество событий, поступающих в систему 5 в момент времени г<, не зависит от 1_Ь то достаточно задать вероятность того, что в произвольный момент времени наступает ровно т событий, т. е. величину Р_т (Г₀, 1/).

Вопросы построения и машинной реализации программных генераторов, имитирующих потоки событий, были рассмотрены в гл. 4, поэтому более подробно остановимся на особенностях построения моделирующих алгоритмов процесса функционирования таких элементов О_гсхем_% как накопители (Н) и каналы (К).