Расчеты по предельной нагрузке

Рассмотрим приближенные методы оценки допускаемой нагрузки на рассматриваемую конструкцию. В предыдущих разделах в качестве условия выхода конструкции из строя принималось о_тах = о_прел, где ^апред ^— предел прочности для материалов в хрупком состоянии или предел текучести для материалов в пластичном состоянии. Другими словами, конструкция из пластичного материала выходит из строя, если в самой нагруженной точке напряжение достигает предела текучести, а условие прочности имеет вид о_тах < [о] = о_Т/я, где п —коэффициент запаса. Такой расчет называется расчетом по допускаемым напряжениям.

Однако появление пластических деформаций в конструкции еще не означает выхода ее из строя. Конструкция из пластичных материалов вполне может воспринимать нагрузку гораздо большую, чем найденная расчетом по допускаемым напряжениям. Был предложен другой метод расчета, названный расчетом по несущей способности, или расчетом по допускаемым нагрузкам. За выход из строя в этом методе принимается перемещение конструкции или части ее при постоянной нагрузке, т. е. превращение системы в пластический механизм при появлении в ней пластических шарниров. При этом условие выхода из строя Р = /> _д.

Условие прочности Р< [Р] = Р_прей/п, где Р_пред — нагрузка, при которой система превращается в пластический механизм. В расчетах по допускаемым нагрузкам используют схематизированную диаграмму деформирования идеального жссткопластического тела (см. рис. 8.1, а), представляющую собой одну горизонтальную линию о = а_т (без учета упругих деформаций). При о < о_т деформация е = О, т. е. материал считается абсолютно жестким (недеформируемым). При о = о_т деформация 8 —> .

Возможны два состояния конструкции при использовании такой диаграммы:

• • пластический шарнир уже есть, но система еще не механизм — это статически возможное состоя н ие. В этом состоянии выполняются уравнения равновесия;
• • система уже превратилась в пластический механизм — это кинематически возможное с о с то я н и е. В этом состоянии выполняются уравнения неразрывности деформаций, так как разрушения конструкции не происходит.

В теории пластичности доказываются статическая и кинематическая теоремы [5], [15]. Приведем их формулировки без доказательств.

Статическая теорема — нагрузка, соответствующая статически возможному состоянию, всегда меньше предельной нагрузки. Эта теорема — основа статического метода расчета (метода нижней оценки).

Кинематическая теорема — нагрузка, соответствующая кинематически возможному состоянию, всегда больше предельной нагрузки. Эта теорема — основа кинематического метода (метода верхней оценки).

Для определения предельной нагрузки рассматриваются различные возможные состояния и определяется нагрузка для каждого из них наибольшая из всех статически возможных нагрузок ближе всего к предельной (метод нижней оценки). В методе нижней оценки величина предельной нагрузки определяется из условий равновесия системы. Наименьшая из всех кинематически возможных нагрузок ближе всего к предельной (метод верхней оценки). В методе верхней оценки величина предельной нагрузки определяется из условия равенства работ внешних и вну тренних сил при перемещении системы.

Рассмотрим примеры определения предельной нагрузки.

Пример I. Рассмотрим балку, защемленную двумя концами, нагруженную силой /'(рис. 8.6, а). В упругой постановке такая балка два раза статически неопределима. Решение такой задачи методом сил будет рассмотрено в гл. 11.

На рис. 8.6, б приведена эпюра изгибающих моментов в сечениях балки, найденная методом сил при упругой деформации (при с = 2а). Однако предельную нагрузку на балку можно оценить методами верхней и нижней оценки (наличия упругого решения не требуется).