Производственная функция. 
Предельная функция технологического замещения

• Под производством понимается деятельность по использованию ограниченных ресурсов с целью создания максимального количества продукта или услуги соответствующего качества.

Ресурсы, используемые в экономической деятельности (факторы производства), делятся на первичные (создают новую стоимость) и вторичные (новую стоимость не создают).

К первичным факторам производства относятся труд (L), капитал (К), земля и предпринимательские способности.

Модель процесса производства описывается при помощи производственной функции, выражающей технологическую взаимосвязь между конечным выпуском Q и затратами факторов производства. Если используется п факторов производства, то производственная функция имеет вид:

где Х_{ — количество используемого i-ro фактора производства.

Как правило, в простой производственной функции учитываются два фактора производства: труд и капитал. В неявном виде она записывается следующим образом:

где/— форма функции; Q — максимальный выпуск, который можно получить при используемой технологии и имеющемся количестве факторов производства (L и К). Все параметры производственной функции описываются в натуральных единицах.

Наиболее часто для представления модели производства применяется функция, полученная математиком Ч. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 г. на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США. Функция Кобба — Дугласа имеет следующий вид:

где А — эффективность технологии; а, р — частная эластичность выпуска соответственно по труду и капиталу.

Функция Кобба — Дугласа описывает экстенсивный тип производства и характеризуется следующими свойствами.

Во-первых, взаимодополнением факторов производства. Если хотя бы один фактор равен нулю, то и выпуск равен нулю:

Исключение составляет функция вида.

Во-вторых, аддитивностью. Можно объединить факторы производства СЦ; К_г) и (1₂; К₂). Но объединение целесообразно лишь в том случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до объединения факторов производства: /(Lj + L₂;K_l + К₂)>/(Ц; К,) + f (l₂; К₂).

В-третьих, делимостью. Процесс производства может осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее условие:

где п — любое положительное число.

В-четвертых, отдачей от масштаба. Если затраты L и К изменяются в X раз, как правило, возрастают, то выпуск изменяется в Х^п раз:

При этом, если п = 1, то имеем неизменную отдачу от масштаба; n > 1 — возрастающую отдачу от масштаба; п < 1 — имеет место убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки фирмы — издержки на единицу продукции не изменяются.

График производственной функции, отражающий одинаковый уровень выпускаемого продукта при различных комбинациях факторов производства (труда и капитала), называется изоквантой.

Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат.

Рис. 4.1. Изокванты (а), карта изоквант (6).

В отличие от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно измерить нельзя, изокванты отражают реальный уровень производства.

• Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant тар).

На рис. 4.1 изокванты представлены в трехмерном измерении. В этом случае изокванты, применяющие сочетания факторов производства (Lj, К,), (1₂, К₂), будут иметь одинаковую проекцию. При применении более прогрессивной технологии выпуск продукции увеличивается, и изокванта будет расположена выше и правее (см. рис. 4.1, б).

На расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее параметры. Эффективность технологии (параметр А в функции Кобба — Дугласа) можно представить графически следующим образом (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Эффективность технологии.

В точках М (1,5; 3) и М'(1; 2) осуществляется один и тот же выпуск продукции Qj = 10. Изокванта на рис. 2, б представляет более эффективную технологию, так как демонстрирует более низкие затраты на единицу продукции.

В зависимости от ситуации, складывающейся на рынке, фирма может изменять объем производства. Обычно деятельность фирмы рассматривают в краткосрочном и долгосрочном временном интервале.

Состояние и параметры факторов производства в краткосрочном периоде определены предшествующими решениями фирмы (состав и количество оборудования, размер производственных площадей и т. д.). В долговременном периоде все факторы производства являются переменными.

Производственная функция фирмы Q = /(L; К). Один и тот же объем производства можно получить, используя различные сочетания затрат факторов ОЦ; К_}), (L₂; К₂) и др. При переходе из точки С_г в точку С₂ затраты капитала сокращаются на ДК, а затраты труда увеличиваются на AL (рис. 4.3, а).

Рис. 4.3. Предельная норма замещения.

_л лк Отношение—характеризует замещение одного фактора про;

АL

изводства другим при сохранении объема выпуска и называется предельной нормой технологического замещения (Marginal rate of technical substation, MRTS):

Предельная норма технологического замещения в данном виде замещения измеряет наклон изокванты на дуге.

Знак «-» приписываем, чтобы MRTS была положительной величиной, так как АЬиАК имеют разные знаки.

Если факторы производства бесконечно делимы и изменения затрат — бесконечно малые величины, то:

Предельная норма технологического замещения в данном виде измеряет наклон изокванты в точке.

Предельная норма замещения убывает по мере движения вдоль изокванты. Следовательно, изокванта выпукла относительно начала координат (рис. 4.3, б). Когда затраты труда растут и происходит замещение капитала трудом, труд становится менее производительным фактором, а производительность капитала, наоборот, возрастает. Когда труд замещается большим количеством капитала, то отдача капитала снижается.

На объем выпуска продукции оказывает влияние капиталоемкость технологии, которая определяется коэффициентом K/L, характеризующим величину затрат капитала, приходящуюся на единицу затрат труда.

На рис. 4.4 представлены изокванты с выпусками Q_: и Q_p с одними и теми же затратами труда L и различными затратами капитала соответствует больший.

К к

К., > К,. Большей капиталоемкости — > —.

2 1 т т

объем производства Q₂ > Q_r

Рис. 4.4. Капиталоемкость технологии.

Наклон изокванты измеряется предельной нормой технологиче;

dK 1.

ского замещения. Наклон изокванты Q, равен —-— = eg а, наклон изо;

djR.

кванты Q₂ определяется как —= tga₂. Так как tg (x_: >tga₂, то пре;

QL

дельная норма замещения труда капиталом на изокванте Q_: превышает норму замещения на изокванте Q₂ и имеет место неравенство dK, dK₂ «.

—-¹— > ——. Выразим предельную норму замещения через соотноше- dh dh г,

ние предельной производительности труда и капитала MRTS = — Тогда имеем.

Таким образом, на единицу предельного продукта труда предельный продукт капитала при технологии Q_: меньше, чем предельный продукт капитала при технологии Q₂. Если к обоим производственным процессам добавить единицу труда, то из процесса производства Q₂ следует изъять меньшее количество капитала, чем из процесса Q_v что подтверждает более высокую капиталоемкость процесса производства Q₂ по сравнению с процессом производства Q_r

Представим графически ситуацию, когда Q₂ > Q_p и в обоих процессах производства используется одно и то же количество капитала К, но разное количество труда L₁ и L₂, при этом I₂ > L_y Тогда капиталоемкость в точке на изокванте Q, больше капиталоемкости на изо;

_Л К К кванте Q" т. е. — > —.

² U L2

Рис. 4.5. Трудоемкость технологии.

Определим наклоны изоквант вначале тангенсом угла касательных tg (n — а₂) > tg(л — а_а), а затем выразим их через соотношение предель;

/' fl

ных продуктов труда и капитала.: -—> Отсюда f[₂ >. На еди;

JK JK

ницу предельного продукта капитала предельный продукт труда при технологии 0₂больше, чем при технологии Q_r Если к обоим процессам добавляется единица труда, то из процесса Q, будет изъято меньшее количество капитала, чем из процесса Q_r Это подтверждает более высокую трудооемкость K/L₂ процесса Q₂.

Таким образом, более трудоемкой технологии соответствует большая норма технологического замещения, но меньший выпуск.

Любая фирма стремится получить максимально возможную прибыль. Но в реальной практике деятельность фирмы ограничена рядом сдерживающих факторов: P_L—цена труда, Р_к — цена капитала заданы рынком, С — общие издержки фирмы.

Фирма расходует все имеющиеся в ее распоряжении средства С на покупку труда в количестве P_l L и капитала в количестве Р_к К. Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид С Р

С = P_L? L + Р_к? К, или К =——? L. Это уравнение изокосты (isocost

Рк Рк

^ dKP_L

line). Ее наклон отрицателен и равен — = —— = tg (n-a), соотноше;

dL Р_к

нию цен факторов производства (рис. 4.6, а).

Рис. 4.6. Изокоста (а) и условие минимизации издержек (б).

Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость.

При перемещении изокосты 2 в положение линии 3 цена капитала растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы.

Фирма может производить продукцию в точке В в объеме Q₂, или в точке, А в объеме Q₂ (рис. 4.6, б). Выпуск Q₂ — максимально возможный. В точке, А изокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону изокванты. Наклон изокванты измеряется.

dK f[ dK P_L «.

MRTS = —— =—, а наклон изокосты -—=—. Приравняв.

dL Q=_Const fk dL P_K

наклоны изокосты и изокванты, получим условие минимизации.

г/ р г/ г,

издержек или — = —. В данном случае будут минималь;

Jk Рк Pl Рк ными средние общие издержки фирмы, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска.