Синтез стабилизирующих законов управления методом декомпозиции

Рассмотрим задачу синтеза стабилизирующих законов управления для управляемой системы, которую можно представить в виде г взаимосвязанных подсистем.

Для решения этой задачи воспользуемся методом декомпозиции. Этот метод состоит в том, что без учета взаимосвязей строятся законы управления для каждой независимой подсистемы, а затем исследуется устойчивость агрегированной синтезированной системы с учетом взаимосвзей, как это делалось в гл. 7.

Если отбросить слагаемые h^^k то получим г независимых подсистем

Эти подсистемы имеют такой же вид, что и система (8.46). Поэтому в качестве стабилизирующих законов управления можно использовать раннее полученные для этой управляемой системы стабилизирующие законы управления (8.52). В соответствии с этими законами управления имеем.

где — произвольные положительные числа, Q* — произвольные положительно определенные матрицы, Г к — положительно определенные матрицы, являющиеся решениями уравнений (8.606). Теперь нужно исследовать устойчивость агрегированной замкнутой системы (8.57), (8.60) и при необходимости изменить некоторые параметры, которые можно варьировать.

Для замкнутых систем (8.59), (8.60) квадратичные формы

являются функциями Ляпунова. В соответствии с теоремой 7.3а эти формы удовлетворяют условиям (см. (7.21а) и (7.21в)).

где А? и АЙ — минимальные и максимальные собственные значения матриц Г*.

Согласно формуле (8.53) имеем.

Учитывая условие (8.586) и неравенства вида (8.61а) для квадратичной формы (x^)^TQk^^k находим.

где A^^fc — минимальное собственное значение матрицы Q*.

Используя параметры, входящие в соотношения (8.58в) и (8.61), запишем выражения для элементов матрицы D = (d{j) (г, j = 1,2,…, г) (см (7.36)):

Рис. 8.6. Система из четырех маятников.

Согласно критерию Севастьянова-Котелянского, для того чтобы система (8.57), (8.60) была асимптотически устойчива, достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства (см. (7.39)):

В качестве примера рассмотрим задачу о демпфировании четырех маятников, связанных между собой пружиной (рис. 8.6).

Пример 8.11. Колебания системы из четырех маятников при определенных допущениях могут быть описаны уравнениями [59).

где :гз, 2:5, Xj — углы отклонения маятников, функции (г = 1,2,3,4) удовлетворяют условиям.

Требуется определить стабилизирующие законы управления, т. е. законы управления, обеспечивающие гашение колебаний данной системы.

Решение. Данную систему естественно рассматривать как систему, состоящую из четырех подсистем, которые описываются уравнениями.

На основании свойства нормы матрицы (см. (7.31)) ||Лх|| ^ ^ НЛП 11×11 можем записать.

В последнем соотношении нормы матриц и векторов являются евклидовыми. В соответствии с принятыми в условии (8.58в) обозначениями hki = ||i/*||. Согласно утверждению 7.1 евклидова норма матрицы А равна /м, где Ад* — максимальное собственное значение произведения А^тА. Поэтому чтобы определить ||/f*||, вычислим произведения соответствующих матриц:

Для выписанных произведений матриц максимальные собственные значения равны Ад/ = ^а Для остальных произведений.

(Hi)^TH^ равны нулю. Поэтому имеем.

Согласно соотношениям (8.60) имеем.

Подставив эти выражения и выражения для Ак и Вк в последние уравнения, получим.

В скалярной форме это уравнение принимает вид.

Чтобы матрица Г* была положительно определенной, решение должно удовлетворять критерию Сильвестра 71 > 0, 7172 — 7² > 0. Этому условию удовлетворяет следующее решение:

Согласно приведенным выше формулам для управлений имеем.

Для определения устойчивости агрегированной системы нужно вычислить элементы матрицы D = (dik) (г, к = 1,2,3,4). А для этого необходимо знать минимальное собственное значение матриц Qk и минимальное и максимальное собственные значения матрицы Г*. Так как q > q₂, то минимальное собственное значение для всех матриц Q_k равно A$^fc = q₂. Положив Aj^ = 7_m и А^ = 7ль по формулам (8.62) находим (см. теорему 7.3а).

По критерию Севастьянова-Котелянского агрегированная система будет устойчива, если будут выполнены неравенства.

Чтобы исследовать устойчивость агрегированной системы, нужно выбрать параметры q и <72, вычислить элементы матриц Г*., найти минимальное и максимальное собственные значения этих матриц. После этого можно определить элементы матрицы D и проверить устойчивость.