Эквивалентные процентные ставки

Ранее были рассмотрены следующие шесть видов процентных ставок:

• • простая процентная ставка наращения;
• • годовая сложная процентная ставка наращения;
• • номинальная процентная ставка наращения;
• • сила роста;
• • простая учетная ставка;
• • сложная учетная ставка.

Любые две из перечисленных выше ставок называются эквивалентными, если замена одной на другую приведет к одинаковым финансовым результатам, т. е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции. Рассмотрим несколько примеров.

Найдем соотношения эквивалентности между простой и годовой сложной процентной ставками наращения. Полагаем, что начальные и наращенные суммы при применении рассматриваемых ставок одинаковы. Поэтому для решения задачи приравняем множители наращения друг к другу. В результате получим.

где п — срок операции в годах; г, а — простая и сложная процентные ставки наращения соответственно.

Решив это уравнение относительно а и i, найдем.

Пример 2.9. Простая процентная ставка депозита равна 20% годовых, срок депозита 0,5 года. Определите доходность финансовой операции в виде сложной годовой процентной ставки.

Решение.

Получим соотношения эквивалентности между номинальной j и сложной а процентными ставками наращения. В этом случае сложная процентная ставка наращения называется эффективной процентной ставкой.

Эффективная процентная ставка — годовая ставка сложных процентов при начислении раз в году, которая даст тот же результат, что и ш-разовое начисление процентов по ставке j/m.

Поэтому множители наращения эффективной и номинальной ставок должны быть равны друг другу, т. е.

Решив это уравнение относительно а и j, получим.

Замена в договоре номинальной ставки j при т-разовом начислении процентов на эффективную ставку а не изменит финансовых обязательств участников сторон, т. е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Пример 2.10. Номинальная ставка процента при начислении один раз в квартал 16% годовых. Определите эффективную ставку.

Решение.

Соотношение эквивалентности между номинальной процентной ставкой наращения j и силой роста 8 имеет вид.

Отсюда.

Соотношения эквивалентности между сложной процентной ставкой наращения а и силой роста б определяются из (2.18) при Hi = 1:

Найдем соотношения эквивалентности между сложной годовой процентной ставкой наращения (2.6) и простой учетной ставкой (2.14). Уравнение эквивалентности имеет вид.

Решив это уравнение, найдем

Из полученной формулы для эквивалентной учетной ставки следует, что эта учетная ставка зависит от временного интервала от момента учета до момента погашения.

Эквивалентные процентные ставки для любых двух рассмотренных в этом разделе ставок определяются аналогичным образом.