Измерения в физических системах

Любой измерительный прибор, независимо от его конкретного устройства, обладает определенной инерционностью, т. е. производит «усреднение» измеряемой случайной величины x (t) по определенному промежутку времени т, характерному для данного прибора. Чтобы понять последствия такого усреднения, предположим, что получаемое значение х_изм(г) измеряемой величины.

x (t) соответствует среднему значению (х (/)) этой величины за промежуток времени т. Для этого значения запишем следующее выражение:

Не вдаваясь сейчас в детальное обсуждение вопроса о характере изменения со временем переменной величины х (/), будем считать, что интеграл в (1) существует.

Разложим величину х (/) в интеграл Фурье, вводя представление о спектральной плотности случайной величины х (/), которую обозначим через х (со):

Вследствие вещественности измеряемой физической характеристики х (/) справедливо соотношение.

где звездочкой обозначена операция комплексного сопряжения.

Значения х (г,) и х (/₂) в различные моменты времени могут быть статистически зависимыми и независимыми. Для характеристики степени статистической зависимости этих величин удобно ввести корреляционную функцию D (t_[y /₂), определяемую соотношением.

В случае однородных во времени процессов корреляционная функция Д/_ь t₂) зависит только от разности х = /, -t_2i и усреднение в правой части (4), обозначенное фигурными скобками, производится следующим образом:

Корреляционная функция D (т), соответствующая физически реальному поведению системы, может быть аппроксимирована выражением.

которое соответствует так называемому гауссовскому стационарному марковскому процессу. Вычислим соответствующую этой зависимости D (t) спектральную плотность 3(w), определяемую соотношением.

Обратное фурье-преобразование дается формулой.

Подставляя выражение (6) для корреляционной функции D (t) в соотношение (8), приходим к формуле для спектральной плотности 3(ш):

Интеграл в (9) легко вычисляется:

так что выражение 3(со) можно представить в виде.

где использовано обозначение.

На рис. 2.1 и 2.2 приведены графики зависимостей D (t) и 3(со) соответственно. Промежуток времени t = 1/у, в течение которого корреляционная функция D{1) убывает в е раз, называется в теории спектральных представлений случайных величин временем корреляции. Отметим, что при увеличении времени корреляции, т. е. при у —"О, в спектральной плотности 3(ш) остается только одна «линия» со = 0:

В противоположном случае, когда время корреляции мало, т. е. при у -««о, или при 1/у 0, что фактически в физическом смысРис. 2.1 Рис. 2.2.

ле соответствует переходу к более грубой шкале времени, спектральная плотность для конечного интервала частот Дсо <�к у превращается в константу:

Поведение спектральной плотности в этом случае соответствует «белому шуму». Отметим, что 3(ы) — интегрируемая функция и равняться константе во всем интервале частот -«о < ш < в принципе не может.

Теперь введем спектральное представление для корреляционной функции D (t), опираясь непосредственно на ее определение (4):

Для спектральной плотности (x (ct>|)х (со₂)) справедливо выражение.

Вводим новые переменные т и Т вместо t_x и t₂:

При этом якобиан перехода равен единице и dt_xdt₂ = didT. Для г, и t₂ имеем выражения:

Теперь выражение (15) переписывается в виде где использовано интегральное представление для 5-функции.

Вернемся к выражению (1) для х_изм(/) и подставим в него соотношение (2) для x (t) через спектральную плотность х (ш). В результате имеем.

Меняя в (20) порядок интегрирования и вычисляя интеграл по получаем.

С другой стороны, принимая во внимание соотношение (2), можно непосредственно записать следующее выражение для д^_зм(0;

Сравнивая между собой выражения (21) и (22), получаем формулу для спектральной плотности х_изм(со) измеряемой величины.

*изм (0;

В случае стационарного процесса для спектральной плотности (*изм (ю)х_изм(1)) можно написать выражение, аналогичное (18):

В результате, с учетом (23), приходим к соотношению, связывающему между собой спектральные плотности 3(ш) и З_изм(со):

(sin (cox/2)V.

Функция /(ш) = -¹-- локализована в определенном ин;

I т/2).

тервале частот, так что фактически в З_изм(о)) «выживает» только определенная часть спектральной функции процесса 3(<�о). Функцию /(ш) по этой причине иногда называют аппаратной функцией.

Подведем некоторые итоги. Прибор, усредняющий показания по временному интервалу т, обрезает частоты о) > 2л/х в спектральной плотности исходного изучаемого случайного процесса, или, как говорят, обладает определенной «полосой пропускания». Если ширина спектральной плотности 3(со) исходного случайного процесса х (г) намного превышает 2л/т, то в формуле (25) можно произвести замену 3(со) —> 3(0). При этом структура З_изм(со) фактически определяется только характеристиками измерительного прибора. От исходного случайного процесса остается только 3(0), вся остальная информация о процессе теряется. Однако измерительный прибор, усредняющий показания по временному интервалу т, может давать «истинные» значения измеряемой величины и при достаточно большом времени корреляции в случае, когда 1/у «х.

Проведенное выше рассмотрение было основано на предположении, что измерительный прибор производит усреднение точно по интервалу [/ - т/2; / + т/2]. К таким же выводам можно прийти и при других предположениях о свойствах измерительного прибора, например в случае, когда т представляет собой среднее время измерения, а распределение результатов измерений по интервалу т определяется функцией /(г), в частности, соответствующей гауссовскому распределению.

В этом случае имеем.

и вычисления корреляционной функции и спектральной плотности приводят к таким результатам:

Итак, при установлении иерархии временных масштабов в изучаемой системе, определяющих иерархию возможных моделей системы, необходимо учитывать проводимые над системой измерения и характеристики используемых измерительных приборов. Характерное время т срабатывания прибора делает бессмысленным рассмотрение моделей, основанных на использовании более мелких масштабов времени.

Следует обратить внимание, что использованное выше понятие «измерительный прибор» должно трактоваться достаточно широко. Например, при изучении прохождения электромагнитных волн через плазмоподобную среду, образуемую электронами проводимости металла или электронами и дырками полупроводника, в понятие «прибор» должны включаться не только детектор электромагнитного излучения, но и зондирующая систему электромагнитная волна определенной частоты ш, ибо период колебаний поля в волне Т = 2я/со является временным параметром, определяющим адекватность определенной модели системы из иерархии возможных моделей. В частности, частота плазменных колебаний сор представляет собой предельную частоту электромагнитных волн, которые могут распространяться в плазме. Волны с частотой меньше ы_р не могут проникать в плазму, так как низкочастотное (по сравнению с со^) электромагнитное поле таких волн экранируется заряженными частицами плазмы. Падающая на границу плазмы волна при о < оу_р отражается от границы. Если же частота электромагнитной волны выше плазменной частоты, то такая волна проникает в плазму.

При математическом моделировании такой системы соотношение между со_р и частотой со падающей волны определяет выбор модели плазмы — кинетической при а)>со_р и гидродинамической при со <�к о)_р. Включение внешнего магнитного поля сразу изменяет достаточно простую иерархию моделей, существующих в отсутствие внешнего магнитного поля, так как в системе оказываются возможными новые типы колебаний, соответствующие геликонам, циклотронным и спиновым волнам и т. д.

При переходе к более реалистической модели плазмоподобной среды в твердом теле, учитывающей движение ионов кристаллической решетки, большое различие характерных частот колебаний электронов и ионов делает возможным и целесообразным рассмотрение такой модели, в которой электроны в каждый момент времени успевают подстраиваться под мгновенное положение ионной системы. Поэтому при рассмотрении низкочастотных процессов в плазме можно считать, что система электронов в каждыи момент времени находится в локальном равновесии поля ионов. Здесь опять свойства «измерительного прибора» оказываются определяющими в выборе наиболее простой модели системы, адекватно описывающей ее изучаемые свойства.

Задачи и упражнения

• 1. Покажите справедливость формулы (3) для спектральной плотности вещественной случайной величины x (t).
• 2. Покажите справедливость формулы (10).
• 3. Выведите формулу (18), исходя из соотношения (15).
• 4. Получите формулу (23) для спектральной плотности измеряемой величины х_изм(со).
• 5. Стационарный случайный процесс *(/) имеет временную корреляционную функцию D (t) = ?>(0)е" ^уИ. Определите корреляционную функцию G{t) и спектральную плотность /(со) для процесса v{t) = *(/).
• 6. Поясните, каким образом проводимые в системе измерения влияют на выбор модели, в которой целесообразно проводить описание свойств системы.

Литература

: [4].