Устойчивость принимаемых решений относительно весов частных критериев

Понятие устойчивости в математике чаще всего связывают с движением, подразумевая иод моделью движения систему дифференциальных уравнений. Однако в более широком смысле устойчивость понимается также как непрерывная зависимость каких-либо объектов от параметров^[1]. Принятие решений, вообще говоря, не обязано опираться на рассмотрение движения или развития системы. Поэтому устойчивость будем понимать именно в более широком смысле (традиционные понятия, такие как устойчивость по Ляпунову дифференциальных уравнений, сюда войдут как частные случаи).

Определение

Оптимальное решение называется устойчивым по отношению к одному или нескольким критериям, если при оптимизации по данному набору критериев решение — непрерывная функция параметров в некоторой окрестности исходной точки пространства параметров задачи оптимизации.

Иными словами, малое изменение параметров, для которых производится оптимизация, может приводить ;шшь к малому изменению принимаемого решения. В этом случае скачков или других разрывов в поведении решения не наблюдается.

В ситуации, когда имеется конечное число альтернатив X = {х, х₂…, х,}, отсутствие скачков означает, что при малом изменении параметров оптимальное решение остается фиксированной альтернативой x_opl е X, не смещаясь в другую точку. Если же множество вариантов X представляет собой область в некотором пространстве, то устойчивость означает, что оптимальнос решение — непрерывная функция параметров задачи. В любом случае устойчивость играет важнейшую роль с точки зрения практических приложений.

Обратите внимание!

Практическая значимость устойчивости оптимального решения обусловлена тем, что только принятие устойчивого решения гарантирует ЛПР сохранение его оптимальности в реальных условиях, когда все параметры задачи определяются с допустимой погрешностью. Неустойчивое решение, напротив, может потерять оптимальность даже при небольшой вариации параметров в пределах допустимой погрешности измерений.

роятности при формировании принципов оптимальности (определяемых математическими ожиданиями некоторых дискретных случайных величин) оказываются весовыми коэффициентами при частных критериях. Следовательно, они в равной степени влияют на совокупные критерии оптимальности, как и параметры первой группы (задающие погрешность самих частных критериев).

Таким образом, исследование устойчивости по параметрам обеих групп равнозначно, и с учетом более высокой погрешности будем полагать параметрами задачи вероятности w_v w_v …, w_rl состояний среды. Эти вероятности удовлетворяют естественным ограничениям: они неотрицательны и в сумме дают единицу

Из этого равенства можно выразить последнюю вероятность через все предыдущие. Тогда свободными параметрами являются вероятности состоянии среды w_v w₂, …, w_m, удовлетворяющие ограничениям.

).

Рассмотрим устойчивость решений по отношению к этим m — 1 параметрам в зависимости от принципов оптимальности и от вида множества альтернатив (либо множество X дискретно, либо имеет вид области в некотором пространстве).

• [1] Устойчивость. Математическая энциклопедия [Электронный ресурс]. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/encjnathematics/5793/УСТОЙЧИВОСТЬ (дата обращения: 04.08.2015).