Кручение стержня некруглого поперечного сечения

Рассмотрим чистое кручение стержня, поперечное сечение которого ограничено односвязным контуром (рис. 4.11). В таком случае о_х = а_у = <�т₂ = 0, х_ху = 0 с учетом этого дифференциальные уравнения равновесия [771 в рассматриваемой задаче принимают вид.

Рис. 4.11. Скрученный стержень некруглого поперечного сечення.

Из первых двух уравнений следует, что напряжения не меняются по длине бруса, т. е. все поперечные сечения находятся в одинаковых условиях. Последнее уравнение будет удовлетворяться тождественно, если ввести функцию напряжений Ф, положив.

Так же, как и в задаче упругого кручения [77 1, для односвязного контура можно принять, что функция напряжений на контуре равна нулю. Крутящий момент связан с функцией напряжений соотношением [77 ].

Зависимости компонентов перемещения и^с_х и и^с_у точек поперечного сечения, возникших в результате ползучести материала, от относительного угла закручивания за счет ползучести 0^е имеют такой же вид, как и в пределах упругости [77 I:

Перемещение и^с_г в направлении оси 2, связанное с искажением плоскости поперечного сечения в случае бруса некруглого поперечного сечения, не равно нулю.

Зависимости угловых деформаций ползучести от компонентов перемещения, возникающего за счет ползучести материала, имеют вид [77]

Подставляя в эти выражения соотношения (4.39), устанавливаем.

Продифференцируем первое из этих уравнений по г/, а второе по х и из первого результата вычтем второй. Тогда получим условие совместности деформаций ползучести.

Зависимости компонентов деформаций ползучести от напряжений согласно формуле (4.11).

Подставим эти зависимости в условие совместности деформаций (4.41), используя соотношение (3.13). Тогда получим.

Отметим, что для рассматриваемой задачи интенсивность напряжений получаем из формулы (3.9), полагая в ней все компоненты напряжений, кроме т_гх и т_гу% равными нулю:

Подставим эту величину в уравнение (4.43). Используя выражения компонентов напряжений через функцию напряжений (4 37), получим дифференциальное уравнение для функции напряжений Ф в случае установившейся ползучести бруса некруглого поперечного сечения:

Если это уравнение при использовании граничного условия для функции напряжений на контуре (для односвязного контура Ф_к0«т = 0) будет решено, то затем при помощи формул (4.37) и (4.38) можно определить зависимость касательных напряжений и относительного угла закручивания от крутящего момента.

Ввиду того, что точное интегрирование уравнения (4.45) представляет значительные математические трудности, обратимся к приближенному интегрированию этого уравнения по методу Бубнова—Галеркина. Как известно, для того чтобы проинтегрировать дифференциальное уравнение по методу Бубнова— Галеркина в первом приближении необходимо задать функцию напряжений в виде

где — некоторая функция х и у; Ф, = 0 на контуре; С — постоянная величина.

Для определения постоянной С выражение (4.46) подставим в левую часть дифференциального уравнения (4.45), умножим ее на и проинтегрируем по площади поперечного сечения. Полученный результат приравниваем нулю:

где.

Проинтегрируем это выражение по частям, принимая во внимание, что функция Ф, на контуре поперечного сечения обращается в ноль:

Выражение (4.38) с учетом соотношений (4.46)—(4.48) преобразуется к виду.

Подставляя выражение (4.46) в соотношения (4.37) и используя зависимости (4.47) и (4.50), выводим формулы для определения компонентов касательного напряжения:

Как известно, решение задачи по методу Бубнова — Галеркина в первом приближении дает сравнительно большую погрешность в определении напряжений и значительно меньшую погрешность в определении перемещений. Поэтому, если в расчете на ползучесть наибольший интерес представляют перемещения, можно считать применение метода Бубнова—Галеркина в рассматриваемом случае вполне оправданным.

Рассмотрим кручение бруса прямоугольного поперечного сечения со сторонами 26 и 2h (h ^ 6) (рис. 4.12). В этом случае функция Фц равная нулю на контуре, может быть выбрана в виде.

и предположим, что т — целое число. В случае промежуточных нецелых значений т можно воспользоваться интерполяцией.

Выражение; стоящее под интегралом (4.55), разложим по биному Ньютона:

где —биномиальный коэффициент.

Рис. 4.12. Прямоугольное поперечное сечение скрученного стержня, находящегося в условиях ползучести.

Подставив выражение (4.52) в формулу (4.48), после интегрирования и преобразований получим.

где Продифференцируем выражение (4.52) по х и у

Тогда формула (4.49) преобразуется к виду Подставив выражение (4.57) в формулу (4.55) и учитывая соотношение (4.56), устанавливаем, что где Очевидно, что формула (4.58) может быть представлена в виде.

f-0.

Подставив выражения (4.53) и (4.59) в формулу (4.51) и приняв во внимание соотношение (4.56), получаем.

В табл. 4.1 приведены значения коэффициента р, подсчитанные по формулам (4.54), (4.60), (4.62) для различных значений где.

4.1. Коэффициент р в выражении для жесткости скрученного бруса прямоугольного сечения в зависимости от отношения сторон h/b и показателя степени п

отношения hlb при п = 1, 3, 5. Для больших значений л, как показали подсчеты, коэффициент р практически мало отличается от р для п — 5.

На рис. 4.13 представлены графики зависимости коэффициента р от hlb для п = 1, 3, 5.

При п = 1 полученные результаты соответствуют решению задачи в пределах упругости. В этом случае из формулы (4.50) можно получить зависимость относительного угла закручивания от крутящего момента в пределах упругости. Для этого необходимо в формуле (4.50) заменить функцию & /о* величиной, обратной модулю упругости первого рода ?, и положить п = 1, 0 = = 3 M/(EJ_lk).

4.2. Сопоставление точного и приближенного решений задачи о кручении бруса прямоугольного поперечного сечения в пределах упругости.

Принимая во внимание соотношение (4.61) для п = 1, а также учитывая, что для несжимаемого материала Е = 3G, имеем В = = Ml ICP (2b)*l

В табл. 4.2 сопоставлен коэффициент р, полученный при решении задачи методом Бубнова — Галеркина в первом приближении, с коэффициентом, полученным в точном решении задачи, известном в теории упругости. Как следует из табл. 4.2, наибольшая погрешность приближенного решения для п — 1 имеет место при hlb — 10 и составляет 12%.

Формулы для определения напряжений не приводятся, поскольку решение задачи по методу Бубнова — Галеркина в первом приближении не дает возможности получить напряжения при установившейся ползучести. В таком решении напряжения при установившейся ползучести не отличаются от напряжений при упругих деформациях стержня.

Если поперечное сечение стержня — тонкая полоса (рис. 4.14), то в этом случае (h > b) можно приближенно принять, что т_гх =.

Рис. 4.13. Зависимость коэффициента р от hlb для различных значений п.

Рис. 4.14. Поперечное сечение скрученного стержня в форме вытянутого прямоугольника

= 0 и, следовательно, на основании соотношений (4.37) = 0.

Тогда дифференциальное уравнение (4.43) принимает вид.

Проинтегрируем это уравнение, учитывая, что при х = 0.

т = 0, 4г- = 0: п дх

Интегрируем еще раз. Получаем

где С — постоянная интегрирования.

Последнюю можно получить из условия равенства нулю функции напряжений на контуре, а именно при х = b Ф = 0. Из этого условия находим, что

и, следовательно,.

Выражение для крутящего момента (4.38) в рассматриваемой.

ь

задаче принимает вид Л4 = 8/i JФ dx.

о.

Подставив в него функцию напряжений по формуле (4.63), после интегрирования и преобразований получим формулу (4.50), где жесткость при кручении.

Касательное напряжение определяем по второй формуле (4.37), используя соотношения (4.63) и (4.50). После преобразований получаем.

Рис. 4.15. Поперечное сечение скрученного стержня в форме тонкостенного незамкнутого профиля со стенкой постоянной толщины.

Рис. 4.16. Поперечное сечение скрученного стержня в форме тонкостенного открытого профиля, состоящего из отдельных полос

Максимальное касательное напряжение находим, подставив в эту формулу х = b:

где момент сопротивления kdvhchhkj

Полученными результатами можно воспользоваться и для расчета стержня, поперечное сечение которого представляет собой тонкостенный открытый профиль в форме изогнутой полосы с постоянной толщиной стенки (рис. 4.15) или профиль из т отдельных полос (рис. 4.16).

В первом случае в выведенные выше формулы следует вместо 2b подставить толщину сгенки профиля о, а вместо 2h — длину средней линии /.

Во втором случае для получения расчетных формул можно приближенно считать, что отдельные полосы, составляющие профиль, поворачиваются на один и тот же угол.

Обозначим крутящий момент, воспринимаемый некоторой полосой, M_h а жесткость ее — J_nki.

Согласно формуле (4.65).

где li и — соответственно длина и ширина i-й полосы.

Приравняв относительный угол закручивания профиля относительному углу закручивания /-й полосы, по формуле (4.64) получаем откуда Просуммируем крутящие моменты на всех i полосах и приравняем полученную сумму моменту М. Приняв во внимание соотношение (4.69), находим

откуда на основании соотношения (4.68).

Рис. 4.17. Поперечное сечение скрученного стержня в форме тонкостенного замкнутого профиля.

Таким образом, в рассматриваемом случае относительный угол закручивания, возникающий вследствие ползучести материала, находится по формуле (4.50). Жесткость J_nk в этой формуле определяется выражением (4.70).

Наибольшее касательное напряжение можно вычислить по формуле (4.66), причем согласно соотношению (4.65) момент сопротивления кручению W_nk = Л|*/6тах;

Несколько особый случай представляет собой стержень, поперечное сечение которого — тонкостенный замкнутый профиль (рис. 4.17). Задача кручения такого стержня статически определима с точки зрения определения напряжений, и поэтому при постоянном во времени крутящем моменте напряжения во времени изменяться не будут. Таким образом, в рассматриваемом случае процесс ползучести является установившимся.

Как известно 11 021, касательное напряжение при кручении стержня, поперечное сечение которого представляет собой тонкостенный замкнутый профиль, определяется по формуле.

где 6 — толщина стенки; [ — площадь, ограниченная средней линией тонкостенного сечения.

Определим относительный угол закручивания стержня. За основу примем условие однозначности осевого смещения.

Из соотношений (4.40) получаем.

Преобразуем это выражение, используя формулы (4.42), (4.44) и (3.13), а также учитывая, что dx = ds cos a, dy = ds sin а, где т = Ут_х + т_у — полное касательное напряжение.

Рис. 4.18. К выводу формулы для угла закручивания стержня, поперечное сечение которого имеет форму тонкостенного замкнутого профиля.

где ds — длина элемента дуги средней линии контура; а — угол между касательной к контуру и осью х (рис. 4.18):

Как следует из рис. 4.18,

где г — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на направление касательного напряжения. Следовательно,.

Поскольку rds = 2df, где df — площадь заштрихованного элемента, то.

Подставим это выражение в соотношение (4.72). Используя формулу (4.71), заключаем, что выражение для относительного угла закручивания, возникшего вследствие ползучести материала, может быть приведено к виду (4.50), где жесткость при кручении определяется формулой.

В статье В. Д. Вылекжанина 1191 даны верхняя и нижняя оценки жесткости при кручении стержня произвольного поперечного сечения. Он установил, что.

где.

— обобщенный полярный момент инерции стержня круглого поперечного сечения, площадь которого F равна площади заданного стержня;

L — периметр поперечного сечения.