Теория игр. 
Методы принятия управленческих решений

С одной стороны, теория игр является разделом «чистой математики». По своему первоначальному замыслу теория игр была разработана ее создателями Дж. Нейманом и О. Моргенштерном как математический аппарат, обслуживающий принятие оптимальных решений в экономике в условиях конкурентной борьбы. Однако, с другой стороны, теория игр — прикладная наука, используемая в рамках приложений исследования операций в целом^[1].

Теория игр как раздел исследования операций есть теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности. При этом конфликт не обязательно должен пониматься как антагонистический, в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие.

Всякая игровая модель должна отражать, кто и как конфликтует, а также кто и в какой форме заинтересован в том или ином исходе конфликта. Действующие в конфликте стороны (в общем случае они являются коллективами, которые могут иметь внутреннюю иерархическую структуру) называются коалициями действия. Решения, принимаемые коалициями действия, и тем самым те действия, которые находятся в их распоряжении, называются коалиционными стратегиями. В результате выбора коалициями действия своих стратегий складывается некоторая ситуация. Заинтересованные стороны (партнеры), входящие в коалицию действий, называются коалициями интересов. Коалиции интересов также могут быть сложными коллективами. Различие их интересов состоит в том, что при сравнении двух ситуаций одна из коалиций интересов может предпочесть одну ситуацию, а другая коалиция — другую. Практически очень часто (хотя далеко не всегда) коалиция оценивает ситуацию по тому выигрышу, который она в этой ситуации получает.

Точное перечисление всех коалиций действия, множеств их стратегий, всех допускаемых ситуаций, всех коалиций интересов и их предпочтений определяет игру. Наиболее специфической чертой всякой игры является наличие в ней не менее двух коалиций интересов.

Цель теории игр — выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтных ситуациях, т. е. определение оптимальной стратегии каждой коалиции действия.

Игра представляет собой ситуацию, в которой двое или более лиц, принимающих решения (игроков), выбирают стратегии поведения, а окончательный результат игры определяется всей совокупностью решений, принятых в ходе игры всеми участниками. Более точно понятие игры можно определить следующим образом.

• 1. Имеется п лиц, принимающих решения, п > 2. Если п = 2, то говорят о парной игре, или игре двух лиц, при п > 2 игра называется множественной, или игрой п лиц.
• 2. Существует набор правил, определяющих выбор допустимых стратегий (т. е. партий, которые могут быть сыграны), и эти правила известны игрокам.
• 3. Существует точно определенный набор конечных состояний, которыми заканчивается игра (например, выигрыш, проигрыш, ничья).
• 4. Платежи (выигрыши), соответствующие каждому возможному конечному состоянию, заранее определены и известны каждому из игроков.

Следует сразу отметить, что только часть состязательных ситуаций можно представить в виде игровых моделей, ибо в реальных условиях допущения 2, 3 и 4 часто не выполняются.

Когда каждый игрок выбрал свою собственную стратегию, говорят, что состоялась партия, т. е. однократная реализация игры. Стратегия игрока представляет собой набор правил (или программу), определяющих, какие из имеющихся в его распоряжении ходов он должен сделать в каждой партии. В теории игр отыскиваются стратегии, максимизирующие или минимизирующие некоторую целевую функцию (критерий).

Оптимальной стратегией в теории игр называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной коалиции действий максимально возможный средний выигрыш.

Решение игры заключается в определении наилучшей (оптимальной) стратегии для каждого игрока. «Качество» стратегии определяется, в свою очередь, выбором целевой функции, задание которой зависит от априорных знаний игроков относительно стратегий противника. Если каждому игроку точно известно, как будет поступать противник, то ситуация полностью детерминирована, и целевая функция выражается в максимизации выигрыша. Если известны вероятности выбора стратегий (или ходов), то цель игроков — максимизация ожидаемого выигрыша. Когда эти вероятности неизвестны, то мы имеем дело с ситуацией, относящейся к категории неопределенных. В таких ситуациях применяют различные целевые функции. Четыре наиболее важных критерия, используемых в этих ситуациях, рассмотрены в главе.

6. Это минимакс (или максимин), обобщенный максимин, критерии минимаксного сожаления и Лапласа.

Конкретизация составных частей игры определяет те или иные более конкретные классы игры. Например, если все коалиции действия есть коалиции интересов и наоборот (в коалициях действий отсутствуют коалиции интересов) и все они могут пониматься как нерасчленимые субъекты (фирма в условиях борьбы на рынке или, скажем, научная организация, участвующая в конкурсе на лучший проект), то получается так называемая бескоалиционная игра. Бескоалиционными играми описываются многие экономические конфликты. В этом случае коалиции называются игроками.

В частности, если в бескоалиционной игре участвуют два игрока и их интересы диаметрально противоположны (это значит, что выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого), то игра называется антагонистической. Например, всякого рода бои, поединки, погони, войны, конкуренция.

Когда потери (проигрыш) одного игрока (или игроков) в точности равны выигрышу другого (или других), такую игру называют игрой с нулевой суммой. Так, например, платежи в игре двух лиц с нулевой суммой можно представить в виде платежной матрицы, подобной матрице в таблице 8.5, в которой платежи игроку В равны платежам игроку А, взятым с обратным знаком. Если оба игрока выбирают стратегию 1, то, А выигрывает, а В проигрывает 1 у.е. и т. д. В игре с ненулевой суммой некоторый третий участник (например, арбитр) получает или выплачивает некоторую сумму. Платежная матрица такой игры показана в таблице 8.6. Левое число в каждой клетке есть выигрыш А, правое — выигрыш В. Отметим, что при выборе стратегий (1,1) и (2,2) сумма выигрышей не равна нулю.

Имеется много примеров возникновения задач, которые можно представить в виде платежной матрицы парной игры с ненулевой суммой.

Рассмотрим ситуацию, в которой две фирмы, основная продукция которых конкурирует на рынке, продают свои товары по одинаковым ценам. Каждая фирма намеревается снизить цены с целью захвата большей доли рынка и увеличения своей прибыли. Ситуация описывается в таблице 8.7.

Платежная матрица парной игры с нулевой суммой

Таблица 8.6

Платежная матрица парной игры с ненулевой суммой

Таблица 8.7

Выбор стратегии в конкурентной борьбе

Можно предположить, что в результате оценки ситуации обоими игроками каждый выберет стратегию 1, обеспечивающую любому из них выигрыш, равный 3. Однако, продолжая размышлять, А может прийти к следующему выводу: «Если В выберет стратегию 1, то мне следует выбрать стратегию 2, ибо мой выигрыш возрастет при этом до 4». Но аналогично может рассуждать и В, который также способен прийти к выбору стратегии 2. Если оба игрока выберут эту стратегию, то каждый получит выигрыш, равный только 2. Пара (2,2) представляет собой точку равновесия, так как в случае отклонения любого из игроков от этой точки он окажется в худшем положении, чем прежде, если второй будет оставаться в этой точке.

Если опираться на теорию игр, то кажется, что игроки должны были бы выбрать (2,2), поскольку это точка равновесия, однако интуитивно такой выбор представляется неудовлетворительным. С другой стороны, выбор (4,1) интуитивно наиболее привлекателен, но нет уверенности, что он надежен. Отсюда и возникает проблема. В экспериментальных и реальных игровых ситуациях большинство игроков выбирает ситуации, представленные точкой равновесия.

Несколько особое место в теории игр занимают кооперативные игры. В них имеется единственная действующая сторона, выбирающая ситуации, а коалиции интересов (партнеры), руководствуясь своими предпочтениями, выдвигают требования тех или иных ситуаций. Выигрыш одного партнера оказывается вместе с тем и выигрышем другого. Ситуация в кооперативной игре обычно называется дележом. Таковы, например, взаимные действия капитанов на судах, которым грозит столкновение.

Кроме того, есть еще так называемые игры против природы, где целенаправленно ведет себя только один партнер (человек, человеческий коллектив), а другой партнер — «природа» — не способен к целенаправленным действиям, но проявляет активность. В роли «природы» могут выступать не только погода, флора и фауна, земные недра, но и пассажирские потоки в транспорте, покупательский спрос на определенного вида продукцию.

В теории игр исследуются главным образом неопределенные ситуации. В сущности цель теории игр — преобразование неопределенной ситуации в детерминированную на основании ряда «допущений о рациональности» поведения игроков.

Предполагается, что каждый игрок действует так, чтобы максимизировать для себя ожидаемый выигрыш. Исходя из этого утверждается, что каждый игрок будет принимать решения, максимизирующие его минимальный выигрыш или минимизирующие его максимальный проигрыш. Поэтому если игрок А (табл. 8.5) считает, что его противник В будет вести себя рационально, то он убежден, что В выберет стратегию 1, ибо его максимальный проигрыш в этом случае составит всего 2, а не 4 у.е., как могло быть при выборе стратегии 2. Исходя из вывода, что В будет пользоваться стратегией 1, А выбирает стратегию 2, максимизирующую его выигрыш. На основе таких рассуждений неопределенность исключается из рассмотрения.

Следовательно, при выборе лучшей стратегии исходят из предположения, что противник по меньшей мере так же разумен, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели.

В теории игр не учитываются элементы азарта и риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждой из конфликтующих сторон.

Среди типичных способов игровой активности, исследованных математиками, чаще всего встречаются стратегии осторожности; они наиболее надежны.

Главная руководящая идея этих стратегий — принцип максимина (или минимакса). Это, грубо говоря, игра в расчете на такое ответное поведение второго партнера, которое для первого партнера наименее благоприятно. Другими словами, это запрет ориентироваться на слабость, глупость и неопытность партнера («бойся врага умного, а не глупого») — при игре антагонистической или его ум, силу, опытность («услужливый дурак опаснее врага») — при игре кооперативной. Это рекомендация наименьшего риска, но вместе с тем такого построения игры, которое гарантирует максимальные шансы на собственный выигрыш при минимально благоприятном поведении партнера (отсюда и название — максимин).

Исходя из этого принципа, каждый участник игры строит обоснованные прогнозы поведения остальных участников и, таким образом, оптимизирует в определенном смысле свое собственное поведение.

Принцип максимина рекомендует так восполнить в своем представлении неопределенность поведения партнера, чтобы быть готовым к наиболее трудной игре. В применении к природе это означает, по существу, ее условное «одухотворение» и наделение ее «свободой воли». Например, планируя маршруты экспедиций геологической разведки в неизвестной местности, намечая пункты бурения и систему анализов, практически выгодно оценить ситуацию как игровую, воспользовавшись принципом максимина: приписать земным недрам «намерения» укрыть свои богатства, «солгать» во взятых пробах и т. д. Таким образом, разрабатывают самую надежную (в расчете «на худой конец») стратегию геологических поисков. И, как доказала практика, заметно экономят средства и повышают производительность труда.

Столь же эффективно максиминное моделирование промыслового лова рыбы (косяки рыбы «не желают» попасть в тралы) и условное наделение «разумнозлой» или «неразумнодоброй» свободной волей пассажирских потоков при составлении транспортных расписаний.

Однако возникает одно принципиальное затруднение, обусловленное выводом, что из гипотезы «рациональности» обязательно следует выбор стратегии, максимизирующей минимальный выигрыш. Даже среди специалистов по теории игр отсутствует единое мнение, что игроки должны действовать подобным образом, не говоря уже о массе фактических данных, указывающих на то, что поведение, по-видимому, вполне рациональных игроков на самом деле не носит такого характера и вообще едва ли подчиняется каким-либо логическим правилам. Поэтому теорию игр обычно рассматривают как теорию предположения, подразумевая под этим, что она исследует предполагаемое поведение рациональных игроков, которое можно определить.

Практическое применение теории игр часто затруднительно, так как выявление предпочтений между ситуациями не всегда имеет объективные основания и связано с общей проблемой измерений величин в экономике, психологии, военном деле и т. д. Вместе с тем качественные выводы, даваемые теорией игр на основе использования приближенных или даже условных данных, могут принести большую пользу. Известны приложения теории игр в военно-тактических задачах, в технических науках и в управлении (например, при выработке поведения фирмы на рынке, в вопросах рекламы, арбитража, при проведении избирательных кампаний, аукционов, при определении оптимальных соотношений между централизацией и децентрализацией экономики).

Например, теоретико-игровую трактовку можно применить к вопросам принятия решений следующим образом. Рассматриваем принимающего решение индивида (руководителя), выступающим в роли арбитра в игре, где игроками являются отдельные признаки, факторы (затраты, выполнение директивных указаний вышестоящей организации, прибыль предприятия, срок окупаемости, степень риска, степень доверия к источнику информации, например к автору рассматриваемого предложения). Игрокам предлагаются различные варианты решения, каждый игрок оценивает их в соответствии со своим критерием оценки. На этом основании арбитр должен выбрать «справедливое» решение, в наибольшей степени отвечающее условиям задачи. Если признаки несравнимы между собой, а варианты по каждому признаку количественно соизмеримы, это — бескоалиционная игра, в которой каждый игрок играет сам за себя. Если признаки частично сравнимы, то можно попытаться применить коалиционную игру, в которой некоторые игроки-признаки играют совместно.

В математической трактовке эта задача выгладит следующим образом. Дано множество альтернатив X = {х}, каждая альтернатива обладает некоторым множеством признаков А = {а}. Задано предпочтение индивида на X = {х} по каждому признаку и некоторое упорядочение индивидом этих признаков. Требуется выделить единственную «лучшую» альтернативу.

Основная ценность теории игр заключается в возможности использовать ее аппарат для расширения довольно узкого общепринятого понятия оптимальности. Такие понятия теории игр, как компромиссное (равновесное или эффективное) решение, помогают более глубокому выяснению принципов оптимальности в процессах принятия решений.

• [1] Изложение основных этапов развития теории игр можно найти в статье Н. Н. Воробьева, помещенной в книге [13].