Характеристики полугрупп и их элементов

Для элемента g полугруппы G построим ряд элементов g= {g, g², …, g,…}. Если в ряду g_> все элементы различные, то полугруппы G и (g) имеют бесконечные порядки.

Пусть в ряду g_> встречаются одинаковые элементы (для конечной полугруппы G совпадения неизбежны), и t — наименьшее натуральное число такое, что g^d = g^r при некотором натуральном d < t. Обозначим п = t — d_f тогда.

Для конечной циклической полугруппы (g) равенство (4.1) называют определяющим соотношением, а пару (g; g^d= g^d+n), состоящую из порождающего элемента g и определяющего соотношения — ее копредставлением. Из (4.1) следует, что равенство g^d+i = g^d+n+i выполнено при любом i е N, т. е. полугруппа (g) полностью задана копредставлением.

Число d называют циклической глубиной или индексом элемента g (обозначается depg). Число /7 называют периодом элемента g (обозначается perg). Элемент g полугруппы с циклической глубиной d и с периодом п имеет тип (d, п) и порождает циклическую полугруппу (g) типа (d, п). Если для элемента g типа (d, п) верно соотношение g⁶ = g^6+v, то 8 > d и п V.

Циклическая глубина и периодgсвязаны с характеристиками графа T (g).

Утверждение 4.5. Для g е П (Х):

• а) depg есть наибольшая из длин всех подходов к циклам графа 1(g);
• б) perg = HOK (/_t, …, /,"), где 1_и …, 1_т — все различные длины циклов графа r (g). t>

Из соотношения (4.1) следует, что множество элементов полугруппы (g) есть {g, g²,…, g^d+n~¹}. Граф Кэли T_g полугруппы (g) состоит из единственного цикла длины п (множество C (g) циклических вершин графа есть {g^d, …, gd+n-1}) _и при (I > 1 из единственного подхода длины d — 1 из вершины g к циклической вершинеg^d. Множество D (g) ациклических вершин графа есть {g,…, g^rf₁} при d > 1.

Циклическая полугруппа коммутативна. Все циклические полугруппы одного типа изоморфны, также изоморфны их графы Кэли. Множество C (g) образует подгруппу порядка п полугруппы (g) с единичным элементом g' при t = d / ri п, который является также единственным идемпотентом циклической полугруппы (g) (обозначается e_g).

Порядком элемента g полугруппы G (обозначается ordg) называется наименьшее натуральное t такое, что g^l = e_g. Если g порождает циклическую полугруппу типа (d, и), то ordg = d / п п. Отсюда ordg' < ord (g), и ordg = ord (g) п | (d — 1) (делит длину подхода в Г^).

Не всякая подполугруппа циклической полугруппы является циклической. Например, в циклической полугруппе (g) типа (7, 8) подполугруппа (g³, g⁵) не циклическая.

Теорема 4.21. Всякая полугруппа G порядка п изоморфна некоторой полугруппе преобразований (п + 1)-множества.

Л Пусть G = {g,…, g"}. Положим Х= G u {g₀} и элементу g, полугруппы G поставим в соответствие преобразование ср, множества X, i = 1,…, п, называемое левым gf сдвигом:

Рассмотрим функцию/: G —> (ср,…, ср,}, реализующую указанное соответствие. Функция/есть биекция, так как преобразования (р,…, (р" попарно различны: (p,(g'₀) ^.

₀) при i ф].

Пусть gjgj = g_r для i, j е {1,…, п), тогда.

Значит, {cpj, …, — полугруппа преобразований и f (gg,) = /(g_;)/(g,), т.с. /— изоморфизм. ?

Моноид G порядка п изоморфен некоторой полугруппе преобразований «-множества.