Электромагнитные поля и каскадные схемы замещения проводников с нелинейными магнитными свойствами

Электромагнитные поля в кусочно-однородных средах

Задачи теории поля решаются аналитически наиболее просто, когда исследуемое поле существует в однородной (с одинаковыми свойствами во всех точках) и изотропной (с одинаковыми свойствами во всех направлениях) среде с линейными свойствами. Критерии правильности решения этих задач определены специальной теоремой единственности. Эта теорема, в частности, утверждает, что решение задачи является правильным и единственно возможным, если оно удовлетворяет соответствующим дифференциальным уравнениям теории поля и принимает заданные значения на поверхностях, ограничивающих исследуемый объем, т. е. отвечает заданным граничным условиям.

Задача о расчете поля существенно усложняется, если исследуемый объем электротехнического устройства представляется в виде совокупности различных конструктивных зон, каждая из которых обладает присущими ей определенными электрическими и магнитными физическими свойствами.

Такую в целом составную среду в расчетном смысле называют кусочно-однородной. Эта сложная расчетная область имеет замкнутую внешнюю поверхность, ограничивающую ее объем, а отдельные «соседние» подобласти разделяют контактные поверхности, которые называются границами раздела сред.

При математическом описании электромагнитного поля в расчетной области с кусочно-однородными свойствами обычно поступают следующим образом:

• 1. Для каждой к-й подобласти с неизменными по ее объему свойствами (jx_k, у_к) раскрывают в той или иной системе координат соответствующее дифференциальное уравнение для основной расчетной величины (Е_к, Н_к). В частности, таким уравнением является уравнение Лапласа (V²E = 0) или Гельмгольца (V²? = jiopY?).
• 2. Для каждой к-й подобласти записывают (если оно известно) или находят самостоятельно (что весьма сложно) общее решение соответствующего дифференциального уравнения. Эти общие решения содержат постоянные интегрирования, которые называют «неизвестными постоянными».
• 3. На основании заданных граничных условий на внешней поверхности, охватывающей всю расчетную область, и условий непрерывности касательных компонент векторов электрической и магнитной напряженностей на смежных границах раздела сред расчетных подобластей составляют систему алгебраических уравнений и разрешают ее относительно всех неизвестных постоянных.
• 4. На основании законов, теорем и уравнений теории электромагнитного поля и электрических цепей определяют необходимые для инженерных расчетов интегральные значения токов, магнитных потоков, мощностей, а также таких параметров, как активные и реактивные сопротивления устройств и их элементов.

Следует отметить, что если при исследовании поля и интегрировании дифференциальных уравнений используется метод разделения переменных, а решение задачи представляется в виде рядов по собственным функциям, то неизвестных постоянных существует теоретически бесконечное множество, и только в этом случае обеспечивается правильное и единственно возможное математическое описание поля.

Если же расчетная дискретно-однородная прямоугольная область бесконечной протяженности обтекается током I и представляется в виде совокупности реальных параллельно соединенных проводящих полос одинаковой высоты Ь_к с толщиной h_k и физическими свойствами /и,_к, у_к, то распределение суммарного тока / = ^по таким проводникам будет определяться не только их сопротивлением постоянному току г_к, но и электродвижущими силами в каждом из них, обусловленными изменяющимся во времени магнитным полем.

Предполагая, что суммарная ширина составного проводника достаточно мала, утверждают, что в каждом к-м плоском проводнике вектор электрической напряженности Е_к подчинен одномерному уравнению Гельмгольца, а общим решением этого уравнения является совокупность двух экспоненциальных функций с постоянными интегрирования С_1к, С_2к? Если число проводников в пакете равно п, то в совокупности число неизвестных постоянных становится равным 2п.

В соответствии с п. 3 представленного выше алгоритма далее на основании граничных условий необходимо составить систему из 2п алгебраических уравнений с неизвестными постоянными С_к.

Два из этого общего числа уравнений составляются при заданном суммарном токе /, и как следствие — известных значениях магнитной напряженности на внешних границах расчетной области.

Оставшиеся 2п-2 уравнения составляются на основании непрерывности электрической и магнитной напряженности на смежных границах исследуемых проводников.

Уже при количестве расчетных слоев, превосходящем три, решение системы уравнений требует выполнения большого числа рутинных преобразований, которые лишены какой-либо наглядности и представляются в виде весьма громоздких формул, исключающих возможность анализа результатов решения поставленной задачи.

Вместе с тем, на кафедре теоретических основ электротехники (ТОЭ) Новосибирского государственного технического университета (НГТУ) на протяжении многих лет при разработке и исследованиях электрических машин различных типов и принципов действия широко используются их эквивалентные по критериям теории поля и электрических цепей каскадные схемы замещения^[1]. В этих схемах каждой конструктивной зоне активного объема машины соответствует типичное звено в виде активного либо пассивного четырехполюсника, постоянные (Л, В, С, D) и параметры трехэлементной схемы замещения которого определяются путем достаточно простых преобразований решений уравнений теории поля в каждой отдельной зоне. При этом соединение четырехполюсников в каскад обеспечивает непрерывность соответствующих компонент векторов поля на границах раздела конструктивных зон.

Каскадные схемы замещения при достаточной простоте выражений для сопротивлений типовых звеньев-четырехполюсников дают наглядное представление об электромагнитном процессе в целом, а при практических расчетах, к тому же, могут быть существенно упрощены в зависимости от численных значений входящих в схему сопротивлений.

Каскадные схемы замещения могут использоваться не только при разработке электрических машин, но и при решении задач теории поля применительно к самым различным электротехническим устройствам, в частности — применительно к проводникам прямоугольного сечения при электрическом и магнитном поверхностном эффекте.

• [1] Инкин А. И. Синтез Е-Н-звеньев цепных схем замещения электрическихмашин // Электрические беспазовые машины переменного тока: сб. трудов. Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1973. С. 107—113; Его же. Схемная аппроксимация линейных сред, находящихся под воздействием магнитного поля //Электричество. 1975. № 4. С. 64—67; Его же. Электромагнитные поля и параметры электрических машин: учеб, пособие. Новосибирск: ЮКЭА, 2002 ;Литвинов Б. В., Давыденко О. Б. Типовые звенья и каскадные схемы замещения электрических машин: монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008.