Процентные ставки, используемые при наращении

Простая процентная ставка наращения — ставка, при которой база начисления всегда остается постоянной.

Из формулы (2.3) имеем / = Р i. Подставив это в соотношение (2.1), найдем формулу для наращения по простой процентной ставке, или формулу простых процентов:

Как следует из (2.4), база начисления, на которую начисляются проценты, не зависит от срока ссуды и является постоянной величиной. Поэтому процентная ставка наращения i — простая ставка. Множитель 1 + п • i называется множителем наращения простых процентов.

Пример 2.2. Ссуда 2500 руб. выдана на срок 0,7 года под простые проценты 18% годовых. Определите наращенную сумму и проценты.

Решение. Наращенная сумма находится по формуле.

По формуле (2.2) найдем проценты.

Простая процентная ставка используется, как правило, при сроках ссуды меньше года. В этом случае срок в годах при заданном сроке в днях рассчитывается по формуле.

где t — число дней ссуды; К — временная база или число дней в году. В зависимости от принятой методики используют два типа временных баз:

К = 360 — обыкновенные; К = 365 (366) — точные проценты.

Формула (2.2) получена для случая простых процентов. Из определения для процентов следует, что в общем случае формула для их расчета имеет вид.

где Р — сумма ссуды; S — наращенная сумма.

Годовая сложная процентная ставка наращения — ставка, при которой база начисления является переменной, т. е. проценты начисляются на проценты, причем проценты начисляются один раз в году. Пусть имеем Р руб., которые можно инвестировать по процентной ставке наращения а. Через один год будем иметь.

Во втором слагаемом этого выражения в качестве сомножителя стоит единица. Эта единица имеет размерность [год]. Поэтому размерность второго слагаемого будет 1 ? Р? а ~

~ год • руб. • = руб. Второе слагаемое в скобках — безразмерно, так как 1 • а ~ год- не имеет размерности.

Если повторить этот процесс, инвестировав всю сумму Р ? (1 + 1 • а), то к концу второго года будем иметь.

Продолжая процесс, видим, что показатель степени в формуле для наращенной суммы равен количеству лег наращения. Положив это число равным е, получим формулу для вычисления наращенной суммы по сложной процентной ставке наращения, или формулу сложных процентов:

где? — число, равное количеству лет наращения, безразмерная величина. Это число можно представить в виде где 1.

имеет размерность год, ап — срок операции в годах. Используя это соотношение, формулу для наращенной суммы по сложной процентной ставке наращения можно переписать в виде.

Как правило, коэффициент единицу перед сомножителем отбрасывают. Тогда формулу для наращенной суммы можно записать в виде

Последняя формула часто встречается в литературе. Заметим, что такая запись не является корректной, так как а и п — размерные величины. Необходимо помнить, что размерные единицы были отброшены.

Формула (2.6) для наращенной суммы, но годовой сложной процентной ставке была получена для целого числа лет. Однако часто, например, при исследовании потоков платежей встречаются сроки, выраженные не целыми (дробными) числами. Принято и в этом случае при проведении расчетов использовать формулу (2.6).

Пример 2.3. Какой величины достигнет долг, равный 80 000 руб. через 4,6 года при росте по сложной ставке наращения 20% годовых? Найдите проценты.

Решение. Для решения используем формулу (2.5):

Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а другой период. В этом случае говорят, что проценты начисляются т раз в году. В контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка, которая в этом случае называется номинальной. Годовая сложная процентная ставка наращения — частный случай номинальной при начислении процентов один раз в году. Если номинальную ставку обозначить буквой j, то проценты за один период начисляются по ставке j/m. Формула для расчета наращенной суммы, но номинальной процентной ставке по прошествии е периодов может быть представлена в виде:

где 8 — количество периодов начисления, равное по величине сроку финансовой операции, безразмерная величина; в скобках сомножитель 1 имеет размерность периода начисления. Если период начисления равен одному месяцу, сомножитель 1 имеет размерность «месяц».

Выразим количество периодов начисления 8 через срок финансовой операции п. Можно записать, например, для месячного периода.

 — безразмерная величина.

С учетом этого формулу для наращенной суммы можно переписать в виде.

Если отбросить размерные единицы, то это выражение преобразуется в широко используемую формулу.

Эта запись также не является корректной, так как j/m и т • п — размерные величины.

Пример 2.4. Чему будет равен долг 1500 руб. через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5% годовых при начислении процентов раз в году и помесячно?

Решение. При начислении процентов раз в году долг.

При начислении процентов двенадцать раз в году долг увеличится, т. е.

Если в формуле (2.8), определяющей наращенную сумму при использовании номинальной процентной ставки наращения, длительность периодов устремить к нулю, то их число будет стремиться к бесконечности. Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении — силой роста. В реальности начисление процентов через бесконечно малый промежуток времени невозможно. Однако эта математическая абстракция имеет большое значение при анализе сложных финансовых проблем, например, при анализе характеристик опционов.

Если сила роста не изменяется во времени, то она называется постоянной. Если сила роста изменяется во времени, то она — переменная.

Формула для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста 5 следует из формулы для наращения по номинальной процентной ставке при стремлении т к бесконечности. Для вывода этой формулы воспользуемся соотношением (2.7). Перепишем его в виде.

Так как т —> ⁰⁰, то и . Найдем предел.

Так как где е — число Эйлера.

(основание натуральных логарифмов), то, заменяя у на силу роста б, получим формулу для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов [10]:

Заметим, что запись этого выражения вполне корректна, так как показатель степени — безразмерная величина. Действительно,.

 — безразмерная величина.

Связь дискретных ставок а и j с силой роста б находится из равенства множителей наращения дискретных (2.6), (2.8) и непрерывной (2.9) ставок, т. е.

Решив эти уравнения, получим:

По этим формулам можно, зная дискретные ставки ценных бумаг, рассчитать силу роста этих бумаг и наоборот.

Пример 2.5. На сумму 15 000 руб. начисляются проценты по сложной головой ставке а = 22% в течение 3,5 лет. Определите силу роста и наращенную сумму при дискретном и непрерывном начислении.

Решение. Найдем силу роста с точностью, достаточной для расчета требуемых сумм с точностью до копеек:

Наращенная сумма при непрерывном начислении.

Наращенная сумма при дискретном начислении.

Таким образом, как и следовало ожидать, наращенные суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали.