Температурное поле в стержне круглого сечения с внутренним тепловыделением

Стационарное температурное поле

На рис. 7.1 изображен стержень круглого сечения и радиуса а. Длина стержня в направлении оси oz неограниченно велика. В стержне имеются внутренние источники тепла, их объемная плотность равна q_v. Известны также теплопроводность к, плотность р и теплоемкость стержня С_р. Теплопроводность и теплоемкость зависят от температуры, а объемная плотность внутренних источников тепла является функцией координаты г. На поверхности стержня известны условия теплообмена — это граничные условия первого, второго или третьего рода. Требуется получить аналитические выражения для температуры и плотности теплового потока и на их основе сформировать каскадную схему замещения для расчета температурного поля в стержне.

Температурное поле в стержне описывается следующим стационарным уравнением теплопроводности:

Разобьем расчетную область на элементарные кольца (рис. 7.2). В каждом кольце теплопроводность к, теплоемкость С_р и плотность внутренних источников тепла q_v имеют постоянное значение. На границах кольца известны температуры Г_а и Т₂, и плотности теплового потока q_/A и q_{/ 2}-

При этих условиях дифференциальное уравнение (7.1) принимает вид:

Рис. 7.1.

Рис. 7.2.

Общее решение этого уравнения:

Плотность теплового потока в элементарном кольце:

Линейная плотность теплового потока через поверхность на радиусе г равна плотности теплового потока q_x, умноженной на длину окружности:

При г = г_а и г = г₂ выражение (7.5) принимает вид Вычитая (7.7) из (7.6), получим.

Поскольку полная мощность внутренних источников тепла в элементарном расчетном кольце (на единицу длины в направлении оси oz) равна.

(7.8) приобретает вид:

Уравнение (7.10) является прямым следствием условия.

поэтому (7.10) может быть поставлена в соответствие Т-образная схема замещения, представленная на рис. 7.3. В этой схеме замещения необходимо определить термические сопротивления Z_b Z₂ и Z₃.

В схеме четырехполюсника на рис. 7.3 источник q₀ представляет собой сторонний источник тепловой энергии, обладающий свойствами источника тока, которые не зависят от распределения температур и тепловых потоков. Значит, для этой схемы могут быть составлены узловые (для тепловых потоков) и контурные (для температур) уравнения, аналогичные уравнениям Кирхгофа в теории электрических цепей.

Поскольку внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико, сопротивление Z₃ никак не повлияет на распределение температур и тепловых потоков на входе и на выходе четырехполюсника. Величину этого сопротивления определим позже, основываясь на тех же соображениях, что были использованы в задаче о пластине в декартовой системе координат.

Рис. 7.3.

Будем иметь в виду, что уравнение (7.10) является следствием общего закона теплопроводности, выраженного условием (7.11). Следовательно, схема замещения на рис. 7.3, составленная на основании уравнения (7.10), также имеет общий характер. И ее параметры должны оставаться неизменными при различных значениях температур и тепловых потоков. Это позволяет получить выражения для термических сопротивлений Z_x и Z₂ на основе анализа режимов прямого и обратного холостого хода четырехполюсника.

В режиме прямого холостого хода равна нулю линейная плотность теплового потока q_t2 на выходе четырехполюсника. Линейная плотность теплового потока на входе равна.

Также справедливо следующее уравнение по второму закону Кирхгофа:

Поскольку q_i2 =0, выражение (7.7) принимает вид.

откуда Решение (7.3) при г = г_а и г = г₂ с учетом (7.14) выглядит следующим образом:

Вычтем (7.15) из (7.16):

Сопоставляя (7.17) и (7.13), получаем равенство.

которое с учетом (7.9) имеет вид.

откуда.

В режиме обратного холостого хода равна нулю линейная плотность теплового потока q_n на входе четырехполюсника. Линейная плотность теплового потока на выходе равна.

Уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид.

Поскольку q_n =0, выражение (7.6) принимает вид.

откуда Решение (7.3) при г = г_х и г = г₂ с учетом (7.24) выглядит следующим образом:

Вычтем (7.26) из (7.25):

Сопоставляя (7.27) и (7.22), получаем равенство.

Следует заметить, что при отсутствии внутренних источников тепла сопротивление четырехполюсника, изображенного на рис. 7.3, равно сумме сопротивлений Z_x и Z₂. Складывая (7.20) и (7.30), получим.

которое с учетом (7.9) принимает вид откуда.

Выражение (7.31) тождественно термическому сопротивлению цилиндрической стенки при граничных условиях первого рода, что полностью соответствует теории теплопередачи^[1].

Поскольку значение термического сопротивления Z₃ не зависит от режима работы четырехполюсника, выберем такой режим, при котором наиболее удобно определять сопротивление Z₃. Пусть левые зажимы четырехполюсника на рис. 7.3 замкнуты накоротко, а правые разомкнуты. Тогда сопротивления Zj и Z₃ обтекаются одним и тем же тепловым потоком с линейной плотностью:

Решение (7.3) при этих условиях принимает вид.

а выражение (7.7) выглядит следующим образом:

При совместном решении (7.32) и (7.33) определяются постоянные интегрирования С_х и С₂:

Следовательно, с учетом (7.34) и (7.35) выражение (7.3) имеет вид.

Для определения сопротивления Z₃ потребуем, чтобы разность потенциалов на выводах источника q₀ была равна средней температуре в элементарном кольце:

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для левого контура цепи на рис. 7.3:

откуда Синтез и расчет каскадной схемы для круглого стержня осуществляется так же, как и в задаче о стационарном температурном поле неограниченной пластины (см. рис. 6.5, систему уравнений (6.19) и выражения (6.20) для температур на границах между каскадами) за тем исключением, что все тепловые потоки в каскадной схеме — это плотности теплового потока, умноженные на длину текущей окружности. Это обстоятельство надо учитывать и при формировании эквивалентного участка цепи для граничного условия на поверхности стержня. Например, если на поверхности задано граничное условие третьего рода, то сопротивление конвективного слоя следует вычислять по формуле:

где а — радиус стержня.

Следует заметить, что для четырехполюсника, примыкающего к оси стержня, выражения для сопротивлений (7.20), (7.30) и (7.39) теряют смысл, так как в этом случае ту =0. Поэтому при расчете сопротивлений в их формулы надо подставлять вместо г, = 0 некоторую конечную малую величину. Выбирать ее необходимо так, чтобы касательная к кривой.

_Л * дТ

температуры при г = 0 была горизонтальна, так как — = 0.

8Г п.

г-0.

Нестационарное температурное поле

По аналогии с задачей о нестационарном температурном поле в неограниченной пластине можно сформировать каскадную схему для расчета нестационарного температурного поля в стержне круглого сечения.

Рис. 7.4.

Введем расчетный источник тепла:

где Т₀ — средняя температура в элементарном кольце.

Рассуждая так же, как и в случае неограниченной пластины, получим Т-образную схему, изображенную на рис. 7.4, а, в которой сопротивления определяются формулами (7.20), (7.30), (7.39), а источник % равен.

Обозначим в (7.42):

Тогда схема замещения четырехполюсника приобретает вид рис. 7.4, б, и для расчета нестационарного температурного поля в стержне круглого сечения (в случае трех расчетных слоев и граничного условия третьего рода на поверхности) можно пользоваться схемой, изображенной на рис. 6.8, и системой дифференциально-алгебраических уравнений (6.29) или системой обыкновенных дифференциальных уравнений (6.30).

• [1] Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача.