Графический (частотный) метод исследования автоколебаний

Уравнение (3.12), определяющее условие возникновения периодического процесса, можно решить графически. Для этого представим его следующим образом:

Строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части, т. е. годограф функции W_n{jw), и обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена с обратным знаком, т. е. годограф функции -l/W_H(A). При построении годографа изменяется частота, при построении годографа —1/W_H(A) изменяется амплитуда.

Если рассматриваемое уравнение имеет решение, то указанные характеристики пересекаются (рис. 3.9). В точке пересечения по годографу W_n(juj) находим частоту, а по годографу —1/W_H(A) — амплитуду периодического процесса.

Устойчивость периодического процесса устанавливается следующим образом. Как уже отмечалось, если линейная часть устойчива или маргинально устойчива, периодический процесс будет асимптотически орбитально устойчив, если при увеличении амплитуды амплитудно-фазовая характеристика гармонически линеаризованной системы не охватывает точку (—1,^0). В случае нелинейного звена с однозначной характеристикой это условие будет выполнено, если передаточная функция нелинейного звена W_H{A) или обратная с отрицательным знаком функция —/W_H(A) является убывающей функцией.

Рис. 3.9. К графическому методу исследования автоколебаний.

Это значит, что в окрестности точки пересечения двух характеристик амплитуда должна возрастать в направлении, указанном стрелкой, или точка на годографе —1/W_H(A), соответствующая амплитуде Л* + ДА (А А >0), должна находиться слева от годографа W_a(ju) при движении по нему в сторону возрастания частоты (рис. 3.9, а). Данное утверждение остается справедливым и в том случае, когда нелинейное звено имеет неоднозначную характеристику (рис. 3.9, б).

Итак, если линейная часть устойчива или маргинально устойчива, то периодический процесс будет асимптотически орбитально устойчив, когда точка на годографе —/W_H(A), соответствующая амплитуде А* + ДА (ДА > 0), находится слева от амплитуднофазовой частотной характеристики при движении по ней в сторону возрастания частоты.

Рассмотренный графический (частотный) метод был предложен Л. С. Гольдфарбом и называется методом Гольдфарба [47].

Уравнение, определяющее условие возникновения периодического процесса, можно также представить в виде.

и при графическом его решении можно строить обратную амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части и с обратным знаком амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена. По точке пересечения этих характеристик можно определить частоту и амплитуду периодического процесса.

Асимптотическая орбитальная устойчивость определяется точно так же, как и при методе Гольдфарба: если линейная часть устойчива или маргинально устойчива, то периодический процесс будет асимптотически орбитально устойчив, когда точка на годографе —W (A), соответствующая амплитуде А* + ДА (АА > 0), находится слева от обратной амплитудно-фазовой частотной характеристики при движении по ней в сторону возрастания частоты.