Дискретизации области и нумерации узлов

Разбиение на элементы одномерной области сводится к делению отрезка на более короткие участки. Разбиение двумерной области обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы. Затем производится разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала область разбивают на достаточно крупные подобласти, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материала, геометрия, приложенная нагрузка и т. п. Затем каждая подобласть разбивается на элементы. Чаще всего элементами являются треугольники, так как этот элемент — простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. При разбиении сначала тело делится на четырехугольные и треугольные подобласти, которые затем подразделяются па треугольники, по форме близкие к равносторонним.

Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.

Нумерация узлов — следующая процедура этапа выделения конечных элементов. Порядок нумерации имеет в данном случае большое значение, так как влияет на эффективность метода.

Дело в том, что матрица системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит МКЭ, — сильно разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали. Целое число L, представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем оперативной памяти требуется для храпения матрицы при реализации МКЭ на ЭВМ и гем меньше затраты машинного времени на решение системы уравнений.

Ширина полосы L зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации узлов.

Число степеней свободы — это количество неизвестных функций, определяемых в каждом узле. Так, например, для двумерных задач гидравлики в каждом узле определяются три переменные: давление и составляющие скорости по осям х и у.

При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разность между номерами узлов в каждом отдельном элементе. Если наибольшую по всей области разность между номерами узлов для отдельного элемента обозначить через /?, а число степеней свободы — через Q, то ширина полосы.

В некоторых случаях уменьшение числа R может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера рассматриваемой области.

На рис. 12 приведены два различных способа нумерации узлов произвольной области, разбитой на конечные элементы.

При первом способе R= 14, при втором R = 6.

Ширина полосы для этих способов при одной степени свободы в узле получается равной соответственно 15 и 7, а при двух степенях свободы — 30 и 14. Рациональная нумерация в случае (б) сокращает объем оперативной памяти примерно в два раза по отношению к случаю (а).

Рис. 12. Два различных способа нумерации узлов

Рис. 13. Дискретизация области внутри и вокруг форсунки при расчете изотермического несжимаемого течения вязкой жидкости

Кроме узлов в методе конечных элементов нумеруются также и сами элементы. Это можно делать произвольным образом, так как нумерация элементов не влияет на вычислительные аспекты задачи.

Процедура дискретизации области является сложной итеративной вычислительной задачей. Примеры разбиения области на конечные элементы приведены на рис. 13−16. Еще сложнее процедуры дискретизации и расчетов в трехмерном пространстве.

Рис. 14. Дискретизация области вокруг крыла самолета при расчете линий равного давления в обтекающем воздухе

Рис. 15. Дискретизация рупорно-параболической антенны и результаты расчета ее диаграммы направленности

Рис. 16. Геометрия полной модели магнитопровода и ее дискретизация